Упр.48 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
- Постройте график функции $$y=-|x+3|+4$$. Найдите: а) наибольшее значение функции; б) промежутки монотонности функции; в) нули функции; г) значения аргумента, при которых $$y>0$$, $$y<0$$.
Рассмотрим функцию $$y=-|x+3|+4.$$
Это график модуля, отражённый относительно оси $$Ox$$ и сдвинутый вверх на $$4$$ единицы. Вершина графика находится в точке $$(-3;\,4)$$.
Запишем функцию по частям:
$$y= \begin{cases} x+7, & x<-3,\\ -x+1, & x\ge -3. \end{cases}$$
Отсюда видно, что слева от точки $$x=-3$$ функция возрастает, а справа убывает.
Найдём нули функции:
$$-|x+3|+4=0$$
$$|x+3|=4$$
$$x+3=4 \quad \text{или} \quad x+3=-4$$
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-7.$$
Так как вершина графика имеет наибольшее значение $$4$$, то максимум функции равен $$4$$.
Для знаков функции:
$$-|x+3|+4>0 \iff |x+3|<4 \iff -4<x+3<4 \iff -7<x<1.$$
$$-|x+3|+4<0 \iff |x+3|>4 \iff x<-7 \ \text{или}\ x>1.$$
Ответ
а) $$y_{\max}=4$$;
б) функция возрастает на $$(-\infty;\,-3]$$, убывает на $$[-3;\,+\infty)$$;
в) $$x=-7,\ x=1$$;
г) $$y>0$$ при $$x\in(-7;\,1)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;\,-7)\cup(1;\,+\infty)$$.
