Упр.48 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) наибольшее значение функции;
б) промежутки монотонности функции;
в) нули функции;
г) значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.

Рассмотрим функцию $$y=-|x+3|+4.$$

Это график модуля, отражённый относительно оси $$Ox$$ и сдвинутый вверх на $$4$$ единицы. Вершина графика находится в точке $$(-3;\,4)$$.

Запишем функцию по частям:

$$ y= \begin{cases} x+7, & x<-3,\\ -x+1, & x\ge -3. \end{cases} $$

Отсюда видно, что слева от точки $$x=-3$$ функция возрастает, а справа убывает.

Найдём нули функции:

$$ -|x+3|+4=0 $$
$$ |x+3|=4 $$
$$ x+3=4 \quad \text{или} \quad x+3=-4 $$
$$ x=1 \quad \text{или} \quad x=-7. $$

Так как вершина графика имеет наибольшее значение $$4$$, то максимум функции равен $$4$$.

Для знаков функции:

$$ -|x+3|+4>0 \iff |x+3|<4 \iff -4<x+3<4 \iff -7<x<1. $$

$$ -|x+3|+4<0 \iff |x+3|>4 \iff x<-7 \ \text{или}\ x>1. $$

Ответ

а) $$y_{\max}=4$$;

б) функция возрастает на $$(-\infty;\,-3]$$, убывает на $$[-3;\,+\infty)$$;

в) $$x=-7,\ x=1$$;

г) $$y>0$$ при $$x\in(-7;\,1)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;\,-7)\cup(1;\,+\infty)$$.