Упр.47 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=|x-4|-5$$. Найдите: а) наименьшее значение функции; б) промежутки монотонности функции; в) нули функции; г) значения аргумента, при которых $$y>0$$, $$y<0$$.

Функция $$y=|x-4|-5$$ задаёт график модуля, сдвинутый вправо на $$4$$ и вниз на $$5$$. Поэтому вершина графика находится в точке $$\left(4;\,-5\right)$$, а сам график имеет вид буквы «V».

Запишем функцию по частям:

$$y= \begin{cases} -(x-4)-5=-x-1, & x<4,\\ (x-4)-5=x-9, & x\ge 4. \end{cases}$$

Из этого видно, что до точки $$x=4$$ функция убывает, а после неё возрастает.

Найдём нули функции:

$$|x-4|-5=0$$
$$|x-4|=5$$
$$x-4=5 \quad \text{или} \quad x-4=-5$$
$$x=9 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

Для знаков функции рассмотрим, где модуль меньше или больше 5:

$$|x-4|-5>0 \iff |x-4|>5 \iff x<-1 \ \text{или}\ x>9,$$

$$|x-4|-5<0 \iff |x-4|<5 \iff -1<x<9.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-5$$;

б) функция убывает на $$(-\infty;\,4]$$, возрастает на $$[4;\,+\infty)$$;

в) нули функции: $$x=-1$$ и $$x=9$$;

г) $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-1)\cup(9;\,+\infty)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-1;\,9)$$.