Упр.47 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) наименьшее значение функции;
б) промежутки монотонности функции;
в) нули функции;
г) значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.

Функция $$y=|x-4|-5$$ задаёт график модуля, сдвинутый вправо на $$4$$ и вниз на $$5$$. Поэтому вершина графика находится в точке $$\left(4;\,-5\right)$$, а сам график имеет вид буквы «V».

Запишем функцию по частям:

$$ y= \begin{cases} -(x-4)-5=-x-1, & x<4,\\ (x-4)-5=x-9, & x\ge 4. \end{cases} $$

Из этого видно, что до точки $$x=4$$ функция убывает, а после неё возрастает.

Найдём нули функции:

$$ |x-4|-5=0 $$
$$ |x-4|=5 $$
$$ x-4=5 \quad \text{или} \quad x-4=-5 $$
$$ x=9 \quad \text{или} \quad x=-1. $$

Для знаков функции рассмотрим, где модуль меньше или больше 5:

$$ |x-4|-5>0 \iff |x-4|>5 \iff x<-1 \ \text{или}\ x>9, $$

$$ |x-4|-5<0 \iff |x-4|<5 \iff -1<x<9. $$

Ответ

а) $$y_{\min}=-5$$;

б) функция убывает на $$(-\infty;\,4]$$, возрастает на $$[4;\,+\infty)$$;

в) нули функции: $$x=-1$$ и $$x=9$$;

г) $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-1)\cup(9;\,+\infty)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-1;\,9)$$.