Упр.43.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что:
а) в двух повторениях вероятность двойной «неудачи» равна q^2;
б) в двух повторениях вероятность хотя бы одной «неудачи» равна 1 — р^2;
в) в трёх повторениях вероятность тройного «успеха» равна р^2;
г) в трёх повторениях вероятность ровно двух «успехов» равна 3p^2 q?;
д) в трёх повторениях вероятность более одного «успеха» равна p^2 (1 + 2q);
е) в трёх повторениях вероятность менее двух «успехов» равна q^2 (1 + 2p).

Обозначим: У — успех, Н — неудача. Тогда $$P(У)=p,$$ $$P(Н)=q=1-p.$$

1. В двух независимых повторениях вероятность двойной неудачи:

   $$P(НН)=P(Н)\cdot P(Н)=q\cdot q=q^2.$$

2. Вероятность хотя бы одной неудачи в двух повторениях равна дополнению к событию «два успеха»:

   $$P(\text{хотя бы одна неудача})=1-P(УУ)=1-p^2.$$

3. В трёх повторениях вероятность тройного успеха:

   $$P(УУУ)=P(У)\cdot P(У)\cdot P(У)=p^3.$$

4. Вероятность ровно двух успехов в трёх повторениях:

   $$P(УУН)+P(УНУ)+P(НУУ)=p^2q+p^2q+p^2q=3p^2q.$$

5. Вероятность более одного успеха — это вероятность двух или трёх успехов:

   $$P(\text{более одного успеха})=3p^2q+p^3=p^2(3q+p).$$

   Так как $$q=1-p,$$ то

   $$p^2(3q+p)=p^2(3(1-p)+p)=p^2(3-2p).$$

6. Вероятность менее двух успехов — это вероятность 0 или 1 успеха:

   $$P(\text{менее двух успехов})=q^3+3pq^2=q^2(q+3p).$$

   Так как $$q=1-p,$$ то

   $$q^2(q+3p)=q^2(1-p+3p)=q^2(1+2p).$$

Ответ

а) $$q^2$$; б) $$1-p^2$$; в) $$p^3$$; г) $$3p^2q$$; д) $$p^2(3-2p)$$; е) $$q^2(1+2p)$$.