Упр.43.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите, при каких значениях р прямая у = р имеет с графиком данной функции:
а) одну общую точку;
б) две общие точки;
в) три общие точки.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} x^2+4x+3, & x<0,\\ -x^2+4, & x>0. \end{cases} $$

Первую часть удобно преобразовать:

$$ x^2+4x+3=x^2+4x+4-1=(x+2)^2-1. $$

Это парабола, ветви направлены вверх, вершина $$(-2,-1)$$. Так как $$x<0$$, берём только левую часть графика и точку $$x=0$$ не включаем.

Вторая часть:

$$ y=-x^2+4 $$

— парабола с ветвями вниз, вершина $$ (0,4) $$, но точка $$x=0$$ также не входит в график.

Найдём, при каких значениях $$p$$ прямая $$y=p$$ пересекает график функции.

1) Левая ветвь $$y=x^2+4x+3$$ при $$x<0$$.

Решим уравнение:

$$ x^2+4x+3=p. $$

Число пересечений зависит от положения прямой относительно вершины $$(-2,-1)$$:

2) Правая ветвь $$y=-x^2+4$$ при $$x>0$$.

Решим уравнение:

$$ -x^2+4=p. $$

Здесь:

если $$p>4$$, пересечений нет;
если $$p=4$$, одна точка не получается, так как $$x=0$$ не входит в область определения;
если $$p<4$$, обычно две точки, но при $$p=3$$ одна из них соответствует $$x=0$$ и не учитывается, поэтому остаётся одна точка.

Теперь сложим число общих точек для обеих частей графика.

Три общие точки получаются тогда, когда левая часть даёт две точки, а правая — одну. Это происходит при

$$ -1<p<3. $$

Две общие точки получаются при

$$ p=-1 \quad \text{или} \quad 3\le p\le 4. $$

Одна общая точка получается при

$$ p<-1 \quad \text{или} \quad p\ge 4. $$