Упр.43.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) область определения и область значений функции;
б) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1; 2];
в) значения х, при которых у = 0, у > 0, у < 0; г) уравнения асимптот гиперболы.

Рассмотрим функцию $$y=\frac{4}{x-3}+2.$$

Это график функции $$y=\frac{4}{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Поэтому

$$x\neq 3,$$

а асимптоты гиперболы имеют уравнения $$x=3$$ и $$y=2.$$

Найдём область определения и область значений:

$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty),$$

$$E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

На отрезке $$[-1;2]$$ функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=-1,$$ а наименьшее — при $$x=2.$$

Вычислим:

$$y(-1)=\frac{4}{-1-3}+2=\frac{4}{-4}+2=-1+2=1,$$

$$y(2)=\frac{4}{2-3}+2=\frac{4}{-1}+2=-4+2=-2.$$

Значит,

$$y_{\max}=1,\qquad y_{\min}=-2.$$

Найдём, при каких $$x$$ функция равна нулю:

$$\frac{4}{x-3}+2=0,$$

$$\frac{4}{x-3}=-2,$$

$$4=-2(x-3),$$

$$4=-2x+6,$$

$$x=1.$$

Так как числитель $$4>0,$$ то знак функции определяется знаком знаменателя и сдвигом вверх:

$$y>0 \text{ при } x<1 \text{ и } x>3,$$

$$y<0 \text{ при } 1<x<3.$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

б) $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=1.$$

в) $$y=0$$ при $$x=1$$; $$y>0$$ при $$x<1$$ и $$x>3$$; $$y<0$$ при $$1<x<3.$$

г) $$x=3,\ y=2.$$