Упр.42.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) x^2/(x^2 — 7x + 10) + 16/(3x^2 — 12) = 1;
б) 2x^2/(2x^2 + x — 3) — 8/(2x^2 — 3x — 9) = 1. Для рабочего стола на экране компьютера наудачу выбирают обои, среди которых 17 вариантов с животными, 23 с цветами, 20 с деревьями, 21 с птицами и 19 однотонных, без рисунка. Какова вероятность того, что выбранные обои будут:
а) с цветами;
б) с птицами;
в) с цветами или с деревьями;
г) с животными или однотонные;
д) с птицами или не с цветами;
е) или не с животными, или не с деревьями?

1. $$\frac{x^2}{x^2-7x+10}+\frac{16}{3x^2-12}=1$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5), \qquad 3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$

   Тогда

   $$\frac{x^2}{(x-2)(x-5)}+\frac{16}{3(x-2)(x+2)}=1,$$

   $$x\neq 2,\; x\neq 5,\; x\neq -2.$$

   Умножим уравнение на $$3(x-2)(x+2)(x-5)$$:

   $$3x^2(x+2)+16(x-5)-3(x-2)(x+2)(x-5)=0.$$

   Раскроем скобки:

   $$3x^3+6x^2+16x-80-3(x^3-5x^2-4x+20)=0,$$

   $$3x^3+6x^2+16x-80-3x^3+15x^2+12x-60=0,$$

   $$21x^2+28x-140=0.$$

   Разделим на $$7$$:

   $$3x^2+4x-20=0.$$

   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256,$$

   $$x=\frac{-4\pm 16}{2\cdot 3}.$$

   Получаем:

   $$x_1=\frac{12}{6}=2,\qquad x_2=\frac{-20}{6}=-\frac{10}{3}.$$

   Значение $$x=2$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Остаётся

   $$x=-\frac{10}{3}.$$

2. $$\frac{2x^2}{2x^2+x-3}-\frac{8}{2x^2-3x-9}=1$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1),$$

   $$2x^2-3x-9=(2x+3)(x-3).$$

   Тогда

   $$\frac{2x^2}{(2x+3)(x-1)}-\frac{8}{(2x+3)(x-3)}=1,$$

   $$x\neq 1,\; x\neq 3,\; x\neq -\frac{3}{2}.$$

   Умножим уравнение на $$ (2x+3)(x-1)(x-3) $$:

   $$2x^2(x-3)-8(x-1)-(2x+3)(x-1)(x-3)=0.$$

   Раскроем скобки:

   $$2x^3-6x^2-8x+8-(2x+3)(x^2-4x+3)=0,$$

   $$2x^3-6x^2-8x+8-(2x^3-5x^2-6x+9)=0,$$

   $$-x^2-2x-1=0,$$

   $$x^2+2x+1=0,$$

   $$\left(x+1\right)^2=0.$$

   Следовательно,

   $$x=-1.$$

3. Всего вариантов обоев:

   $$17+23+20+21+19=100.$$

   Тогда вероятности равны:

   а) $$P=\frac{23}{100}=0{,}23$$;

   б) $$P=\frac{21}{100}=0{,}21$$;

   в) $$P=\frac{23+20}{100}=\frac{43}{100}=0{,}43$$;

   г) $$P=\frac{17+19}{100}=\frac{36}{100}=0{,}36$$;

   д) $$P=\frac{21+17+20+19}{100}=\frac{77}{100}=0{,}77$$;

   е) событие «или не с животными, или не с деревьями» происходит всегда, поэтому

   $$P=1.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{10}{3}$$; б) $$x=-1$$; в) $$0{,}23$$; г) $$0{,}21$$; д) $$0{,}43$$; е) $$0{,}36$$; ж) $$0{,}77$$; з) $$1$$.