Упр.42.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (x^2 + 1)/(x^2 — 4x + 3) + 2/(x — 1) = 3/(x — 3);
б) (x^2 + 14)/(x^2 — x — 2) + 10/(x + 1) = 3x/(x — 2);
в) (x — 1)/(x — 2) — (3x — 1)/(2x^2 — 3x — 2) = (x — 3)/(2x + 1);
г) (x^2 — 7)/(x^2 — 7x — 8) — 6/(x + 1) = 18/(x — 8). В одинаковых по размеру ящиках № 1 и № 2 лежат одинаковые по размеру шары: по 6 красных, по 5 синих, по 4 белых и по 3 чёрных. Выбирают по одному шару из ящиков.
Сколькими способами можно выбрать:
а) красный шар из ящика № 1 и не красный из ящика № 2;
б) синий шар из ящика № 1 и не белый из ящика № 2;
в) красный или синий шар из каждого ящика;
г) белый или чёрный шар из каждого ящика;
д) не красный шар из ящика № 1 и не чёрный из ящика № 2;
е) красный или синий шар из ящика № 1 и не чёрный и не красный из ящика № 2?

1. а) $$\frac{x^2+1}{x^2-4x+3}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x-3}$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3), \quad x\ne 1,\; x\ne 3.$$

   Тогда

   $$ \frac{x^2+1}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x-3}=0 $$
   $$ \frac{x^2+1+2(x-3)-3(x-1)}{(x-1)(x-3)}=0 $$
   $$ \frac{x^2-x-2}{(x-1)(x-3)}=0 $$

   Числитель равен нулю:

   $$x^2-x-2=0$$

   $$x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$$

   $$x=-1 \text{ или } x=2.$$

2. б) $$\frac{x^2+14}{x^2-x-2}+\frac{10}{x+1}=\frac{3x}{x-2}$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-x-2=(x+1)(x-2), \quad x\ne -1,\; x\ne 2.$$

   Тогда

   $$ \frac{x^2+14}{(x+1)(x-2)}+\frac{10}{x+1}-\frac{3x}{x-2}=0 $$
   $$ \frac{x^2+14+10(x-2)-3x(x+1)}{(x+1)(x-2)}=0 $$
   $$ \frac{-2x^2+7x-6}{(x+1)(x-2)}=0 $$

   Решаем уравнение числителя:

   $$-2x^2+7x-6=0$$

   $$2x^2-7x+6=0$$

   $$D=49-48=1$$

   $$ x=\frac{7\pm 1}{4} $$
   $$ x_1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \quad x_2=\frac{8}{4}=2 $$

   Значение $$x=2$$ не подходит, так как оно не входит в область допустимых значений.

3. в) $$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3x-1}{2x^2-3x-2}=\frac{x-3}{2x+1}$$

   Разложим знаменатель:

   $$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2), \quad x\ne 2,\; x\ne -\frac12.$$

   Тогда

   $$ \frac{x-1}{x-2}-\frac{3x-1}{(2x+1)(x-2)}-\frac{x-3}{2x+1}=0 $$
   $$ \frac{(x-1)(2x+1)-(3x-1)-(x-3)(x-2)}{(2x+1)(x-2)}=0 $$
   $$ \frac{x^2+x-6}{(2x+1)(x-2)}=0 $$

   Решаем числитель:

   $$x^2+x-6=0$$

   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0$$

   $$x=-3 \text{ или } x=2.$$

   Значение $$x=2$$ не подходит.

4. г) $$\frac{x^2-7}{x^2-7x-8}-\frac{6}{x+1}=\frac{18}{x-8}$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-7x-8=(x+1)(x-8), \quad x\ne -1,\; x\ne 8.$$

   Тогда

   $$ \frac{x^2-7}{(x+1)(x-8)}-\frac{6}{x+1}-\frac{18}{x-8}=0 $$
   $$ \frac{x^2-7-6(x-8)-18(x+1)}{(x+1)(x-8)}=0 $$
   $$ \frac{x^2-24x+23}{(x+1)(x-8)}=0 $$

   Решаем числитель:

   $$x^2-24x+23=0$$

   $$x^2-24x+23=(x-1)(x-23)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=23.$$

5. а) Красный шар из ящика № 1 и не красный из ящика № 2:

   $$6\cdot(5+4+3)=6\cdot 12=72.$$

6. б) Синий шар из ящика № 1 и не белый из ящика № 2:

   $$5\cdot(6+5+3)=5\cdot 14=70.$$

7. в) Красный или синий шар из каждого ящика:

   $$ (6+5)\cdot(6+5)=11\cdot 11=121.$$

8. г) Белый или чёрный шар из каждого ящика:

   $$ (4+3)\cdot(4+3)=7\cdot 7=49.$$

9. д) Не красный шар из ящика № 1 и не чёрный из ящика № 2:

   $$ (5+4+3)\cdot(6+5+4)=12\cdot 15=180.$$

10. е) Красный или синий шар из ящика № 1 и не чёрный и не красный из ящика № 2:

    $$ (6+5)\cdot(5+4)=11\cdot 9=99.$$

Ответ

а) $$x=-1,\; 2$$; б) $$x=\frac{3}{2}$$; в) $$x=-3$$; г) $$x=1,\; 23$$; а) $$72$$; б) $$70$$; в) $$121$$; г) $$49$$; д) $$180$$; е) $$99$$.