Упр.42.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Разложите на множители:
а) $$x^4 — 13x^2 + 36$$;
б) $$-x^4 + 17x^2 — 16$$;
в) $$8x^6 — 7x^3 — 1$$;
г) $$x^4 — 10x^2 + 9$$;
д) $$-x^4 — 20x^2 — 64$$;
е) $$x^6 — 7x^3 — 8$$. - Задание учебника 2019 года. В одинаковых по размеру ящиках № 1 и № 2 лежат одинаковые по размеру шары: по 6 красных, по 5 синих, по 4 белых и по 3 чёрных. Выбирают по одному шару из ящиков. Сколькими способами можно выбрать:
а) два красных шара;
б) два синих шара;
в) два белых шара;
г) два чёрных шара;
д) красный шар из ящика № 1 и белый — из ящика № 2;
е) синий и чёрный шары?
а) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:
$$y^2-13y+36=0$$
Подбираем корни: $$y_1=4$$, $$y_2=9$$. Значит,
$$y^2-13y+36=(y-4)(y-9)$$
Следовательно,
$$x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$$
б) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:
$$-y^2+17y-16=0$$
или
$$y^2-17y+16=0$$
Корни: $$y_1=1$$, $$y_2=16$$. Тогда
$$-y^2+17y-16=-(y-1)(y-16)=(1-y)(y-16)$$
Следовательно,
$$-x^4+17x^2-16=(1-x^2)(x^2-16)=(1-x)(1+x)(x-4)(x+4)$$
в) Пусть $$x^3=y$$. Тогда $$x^6=y^2$$, и получаем:
$$8y^2-7y-1=0$$
Подбираем корни: $$y_1=1$$, $$y_2=-\frac18$$. Значит,
$$8y^2-7y-1=(y-1)(8y+1)$$
Следовательно,
$$8x^6-7x^3-1=(x^3-1)(8x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(2x+1)(4x^2-2x+1)$$
г) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:
$$y^2-10y+9=0$$
Корни: $$y_1=1$$, $$y_2=9$$. Тогда
$$y^2-10y+9=(y-1)(y-9)$$
Следовательно,
$$x^4-10x^2+9=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$$
д) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:
$$-y^2-20y-64=0$$
или
$$y^2+20y+64=0$$
Корни: $$y_1=-16$$, $$y_2=-4$$. Значит,
$$-y^2-20y-64=-(y+16)(y+4)$$
Следовательно,
$$-x^4-20x^2-64=-(x^2+16)(x^2+4)$$
е) Пусть $$x^3=y$$. Тогда $$x^6=y^2$$, и получаем:
$$y^2-7y-8=0$$
Корни: $$y_1=8$$, $$y_2=-1$$. Тогда
$$y^2-7y-8=(y-8)(y+1)$$
Следовательно,
$$x^6-7x^3-8=(x^3-8)(x^3+1)=(x-2)(x^2+2x+4)(x+1)(x^2-x+1)$$
а) Два красных шара: $$6\cdot 6=36$$.
б) Два синих шара: $$5\cdot 5=25$$.
в) Два белых шара: $$4\cdot 4=16$$.
г) Два чёрных шара: $$3\cdot 3=9$$.
д) Красный шар из ящика № 1 и белый шар из ящика № 2: $$6\cdot 4=24$$.
е) Синий и чёрный шары можно выбрать двумя способами:
$$5\cdot 3+3\cdot 5=15+15=30$$
Ответ
а) $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$;
б) $$\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)$$;
в) $$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)$$;
г) $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$;
д) $$-\left(x^2+16\right)\left(x^2+4\right)$$;
е) $$\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$$;
а) $$36$$; б) $$25$$; в) $$16$$; г) $$9$$; д) $$24$$; е) $$30$$.
