Упр.42.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) x^4 — 13x^2 + 36; г) x^4 — 10x^2 + 9;
б) -x^4 + 17x^2 — 16; д) -x^4 — 20x^2 — 64;
в) 8x^6 — 7x^3 — 1; е) x^6 — 7x^3 — 8. В одинаковых по размеру ящиках № 1 и № 2 лежат одинаковые по размеру шары: по 6 красных, по 5 синих, по 4 белых и по 3 чёрных. Выбирают по одному шару из ящиков.
Сколькими способами можно выбрать:
а) два красных шара;
б) два синих шара;
в) два белых шара;
г) два чёрных шара;
д) красный шар из ящика № 1 и белый — из ящика № 2;
е) синий и чёрный шары?

1. а) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:

   $$ y^2-13y+36=0 $$

   Подбираем корни: $$y_1=4$$, $$y_2=9$$. Значит,

   $$ y^2-13y+36=(y-4)(y-9) $$

   Следовательно,

   $$ x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) $$

2. б) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:

   $$ -y^2+17y-16=0 $$

   или

   $$ y^2-17y+16=0 $$

   Корни: $$y_1=1$$, $$y_2=16$$. Тогда

   $$ -y^2+17y-16=-(y-1)(y-16)=(1-y)(y-16) $$

   Следовательно,

   $$ -x^4+17x^2-16=(1-x^2)(x^2-16)=(1-x)(1+x)(x-4)(x+4) $$

3. в) Пусть $$x^3=y$$. Тогда $$x^6=y^2$$, и получаем:

   $$ 8y^2-7y-1=0 $$

   Подбираем корни: $$y_1=1$$, $$y_2=-\frac18$$. Значит,

   $$ 8y^2-7y-1=(y-1)(8y+1) $$

   Следовательно,

   $$ 8x^6-7x^3-1=(x^3-1)(8x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(2x+1)(4x^2-2x+1) $$

4. г) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:

   $$ y^2-10y+9=0 $$

   Корни: $$y_1=1$$, $$y_2=9$$. Тогда

   $$ y^2-10y+9=(y-1)(y-9) $$

   Следовательно,

   $$ x^4-10x^2+9=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) $$

5. д) Пусть $$x^2=y$$. Тогда $$x^4=y^2$$, и получаем:

   $$ -y^2-20y-64=0 $$

   или

   $$ y^2+20y+64=0 $$

   Корни: $$y_1=-16$$, $$y_2=-4$$. Значит,

   $$ -y^2-20y-64=-(y+16)(y+4) $$

   Следовательно,

   $$ -x^4-20x^2-64=-(x^2+16)(x^2+4) $$

6. е) Пусть $$x^3=y$$. Тогда $$x^6=y^2$$, и получаем:

   $$ y^2-7y-8=0 $$

   Корни: $$y_1=8$$, $$y_2=-1$$. Тогда

   $$ y^2-7y-8=(y-8)(y+1) $$

   Следовательно,

   $$ x^6-7x^3-8=(x^3-8)(x^3+1)=(x-2)(x^2+2x+4)(x+1)(x^2-x+1) $$

7. а) Два красных шара: $$6\cdot 6=36$$.

   б) Два синих шара: $$5\cdot 5=25$$.

   в) Два белых шара: $$4\cdot 4=16$$.

   г) Два чёрных шара: $$3\cdot 3=9$$.

   д) Красный шар из ящика № 1 и белый шар из ящика № 2: $$6\cdot 4=24$$.

   е) Синий и чёрный шары можно выбрать двумя способами:

   $$ 5\cdot 3+3\cdot 5=15+15=30 $$

Ответ

а) $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$;
б) $$\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)$$;
в) $$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)$$;
г) $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$;
д) $$-\left(x^2+16\right)\left(x^2+4\right)$$;
е) $$\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$$;
а) $$36$$; б) $$25$$; в) $$16$$; г) $$9$$; д) $$24$$; е) $$30$$.