Упр.42.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\frac{x+5}{x-5}+\frac{x}{x+5}=\frac{50}{x^2-25}$$;

б) $$\frac{3}{x-3}+\frac{13-7x}{1-x}=\frac{6}{x^2-4x+3}$$;

в) $$\frac{3x-7}{x-3}+\frac{3}{x}=\frac{6}{x^2-3x}$$;

г) $$\frac{4}{x-4}-\frac{1-3x}{2-x}=\frac{8}{x^2-6x+8}$$.

1. а) Область допустимых значений: $$x \ne 5,\; x \ne -5.$$

   $$\frac{x+5}{x-5}+\frac{x}{x+5}=\frac{50}{x^2-25}$$
   $$\frac{x+5}{x-5}+\frac{x}{x+5}-\frac{50}{(x-5)(x+5)}=0$$
   $$\frac{(x+5)^2+x(x-5)-50}{(x-5)(x+5)}=0$$
   $$\frac{x^2+10x+25+x^2-5x-50}{(x-5)(x+5)}=0$$
   $$\frac{2x^2+5x-25}{(x-5)(x+5)}=0$$

   Решаем числитель:

   $$2x^2+5x-25=0$$
   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-25)=25+200=225$$
   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 15}{4}$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=\frac{5}{2}$$

   Значение $$x=-5$$ не подходит по ОДЗ, поэтому

   $$x=\frac{5}{2}$$

2. б) Область допустимых значений: $$x \ne 1,\; x \ne 3.$$

   $$\frac{3}{x-3}+\frac{13-7x}{1-x}=\frac{6}{x^2-4x+3}$$
   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$
   $$\frac{3}{x-3}+\frac{13-7x}{1-x}-\frac{6}{(x-1)(x-3)}=0$$
   $$\frac{3(x-1)-(13-7x)(x-3)-6}{(x-1)(x-3)}=0$$
   $$\frac{7x^2-31x+30}{(x-1)(x-3)}=0$$

   Решаем числитель:

   $$7x^2-31x+30=0$$
   $$D=31^2-4\cdot 7\cdot 30=961-840=121$$
   $$x_{1,2}=\frac{31\pm 11}{14}$$
   $$x_1=\frac{10}{7},\quad x_2=3$$

   Значение $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, поэтому

   $$x=\frac{10}{7}$$

3. в) Область допустимых значений: $$x \ne 0,\; x \ne 3.$$

   $$\frac{3x-7}{x-3}+\frac{3}{x}=\frac{6}{x^2-3x}$$
   $$\frac{3x-7}{x-3}+\frac{3}{x}-\frac{6}{x(x-3)}=0$$
   $$\frac{x(3x-7)+3(x-3)-6}{x(x-3)}=0$$
   $$\frac{3x^2-7x+3x-9-6}{x(x-3)}=0$$
   $$\frac{3x^2-4x-15}{x(x-3)}=0$$

   Решаем числитель:

   $$3x^2-4x-15=0$$
   $$D=16+180=196$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 14}{6}$$
   $$x_1=-\frac{5}{3},\quad x_2=3$$

   Значение $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, поэтому

   $$x=-\frac{5}{3}$$

4. г) Область допустимых значений: $$x \ne 2,\; x \ne 4.$$

   $$\frac{4}{x-4}-\frac{1-3x}{2-x}=\frac{8}{x^2-6x+8}$$
   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$$
   $$\frac{4}{x-4}+\frac{1-3x}{x-2}-\frac{8}{(x-2)(x-4)}=0$$
   $$\frac{4(x-2)+(1-3x)(x-4)-8}{(x-2)(x-4)}=0$$
   $$\frac{-3x^2+17x-20}{(x-2)(x-4)}=0$$

   Решаем числитель:

   $$-3x^2+17x-20=0$$
   $$3x^2-17x+20=0$$
   $$D=17^2-4\cdot 3\cdot 20=289-240=49$$
   $$x_{1,2}=\frac{17\pm 7}{6}$$
   $$x_1=\frac{5}{3},\quad x_2=4$$

   Значение $$x=4$$ не подходит по ОДЗ, поэтому

   $$x=\frac{5}{3}$$

Ответ

а) $$x=\frac{5}{2}$$; б) $$x=\frac{10}{7}$$; в) $$x=-\frac{5}{3}$$; г) $$x=\frac{5}{3}$$.