Упр.42.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) (x + 5)/(x — 5) + x/(x + 5) = 50/(x^2 — 25);
б) 3/(x — 3) + (13 — 7x)/(1 — x) = 6/(x^2 — 4x + 3);
в) (3x — 7)/(x — 3) + 3/x = 6/(x^2 — 3x);
г) 4/(x — 4) — (1 — 3x)/(2 — x) = 8/(x^2 — 6x + 8).
а) Область допустимых значений: $$x \ne 5,\; x \ne -5.$$
$$\frac{x+5}{x-5}+\frac{x}{x+5}=\frac{50}{x^2-25}$$
$$\frac{x+5}{x-5}+\frac{x}{x+5}-\frac{50}{(x-5)(x+5)}=0$$
$$\frac{(x+5)^2+x(x-5)-50}{(x-5)(x+5)}=0$$
$$\frac{x^2+10x+25+x^2-5x-50}{(x-5)(x+5)}=0$$
$$\frac{2x^2+5x-25}{(x-5)(x+5)}=0$$Решаем числитель:
$$2x^2+5x-25=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-25)=25+200=225$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 15}{4}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=\frac{5}{2}$$Значение $$x=-5$$ не подходит по ОДЗ, поэтому
$$x=\frac{5}{2}$$
б) Область допустимых значений: $$x \ne 1,\; x \ne 3.$$
$$\frac{3}{x-3}+\frac{13-7x}{1-x}=\frac{6}{x^2-4x+3}$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$
$$\frac{3}{x-3}+\frac{13-7x}{1-x}-\frac{6}{(x-1)(x-3)}=0$$
$$\frac{3(x-1)-(13-7x)(x-3)-6}{(x-1)(x-3)}=0$$
$$\frac{7x^2-31x+30}{(x-1)(x-3)}=0$$Решаем числитель:
$$7x^2-31x+30=0$$
$$D=31^2-4\cdot 7\cdot 30=961-840=121$$
$$x_{1,2}=\frac{31\pm 11}{14}$$
$$x_1=\frac{10}{7},\quad x_2=3$$Значение $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, поэтому
$$x=\frac{10}{7}$$
в) Область допустимых значений: $$x \ne 0,\; x \ne 3.$$
$$\frac{3x-7}{x-3}+\frac{3}{x}=\frac{6}{x^2-3x}$$
$$\frac{3x-7}{x-3}+\frac{3}{x}-\frac{6}{x(x-3)}=0$$
$$\frac{x(3x-7)+3(x-3)-6}{x(x-3)}=0$$
$$\frac{3x^2-7x+3x-9-6}{x(x-3)}=0$$
$$\frac{3x^2-4x-15}{x(x-3)}=0$$Решаем числитель:
$$3x^2-4x-15=0$$
$$D=16+180=196$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 14}{6}$$
$$x_1=-\frac{5}{3},\quad x_2=3$$Значение $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, поэтому
$$x=-\frac{5}{3}$$
г) Область допустимых значений: $$x \ne 2,\; x \ne 4.$$
$$\frac{4}{x-4}-\frac{1-3x}{2-x}=\frac{8}{x^2-6x+8}$$
$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$$
$$\frac{4}{x-4}+\frac{1-3x}{x-2}-\frac{8}{(x-2)(x-4)}=0$$
$$\frac{4(x-2)+(1-3x)(x-4)-8}{(x-2)(x-4)}=0$$
$$\frac{-3x^2+17x-20}{(x-2)(x-4)}=0$$Решаем числитель:
$$-3x^2+17x-20=0$$
$$3x^2-17x+20=0$$
$$D=17^2-4\cdot 3\cdot 20=289-240=49$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 7}{6}$$
$$x_1=\frac{5}{3},\quad x_2=4$$Значение $$x=4$$ не подходит по ОДЗ, поэтому
$$x=\frac{5}{3}$$
Ответ
а) $$x=\frac{5}{2}$$; б) $$x=\frac{10}{7}$$; в) $$x=-\frac{5}{3}$$; г) $$x=\frac{5}{3}$$.
