Упр.42.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (a — b)/(avb — bva) — vb/b = va/a;
б) vx/x — (y — x)/(yvx + xvy) = vy/y. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что:
а) в первый раз выпадет чётное число очков;
б) хотя бы при одном из бросаний выпадет чётное число очков;
в) произведение чисел выпавших очков будет чётным;
г) в первый раз выпадет чётное число очков, а во второй — нечётное;
д) одно из чисел выпавших очков будет чётным, а другое — нечётным;
е) сумма чисел выпавших очков будет нечётной.

1. а)

   $$\frac{a-b}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{b}}{b}$$
   $$=\frac{a-b}{\sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b}-\sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}$$
   $$=\frac{a-b}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}-\frac{1}{\sqrt{b}}$$
   $$=\frac{a-b-\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$
   $$=\frac{a-b-a+\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$
   $$=\frac{\sqrt{ab}-b}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$
   $$=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}-\sqrt{b}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$
   $$=\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$
   $$=\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}.$$

2. б)

   $$\frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{y-x}{y\sqrt{x}+x\sqrt{y}}$$
   $$=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{y-x}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{y}+\sqrt{x})}$$
   $$=\frac{\sqrt{y}(\sqrt{y}+\sqrt{x})-(y-x)}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$$
   $$=\frac{y+\sqrt{xy}-y+x}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$$
   $$=\frac{\sqrt{xy}+x}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$$
   $$=\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{x}\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$$
   $$=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}+\sqrt{x})}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$$
   $$=\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{y}.$$

3. Вероятности при двух бросках игрального кубика

   Всего исходов:

   $$N=6\cdot 6=36.$$

   а) В первый раз выпадает чётное число очков:

   $$3\cdot 6=18,$$

   $$P=\frac{18}{36}=\frac12.$$

   б) Хотя бы при одном из бросаний выпадает чётное число очков:

   Удобнее найти дополнение: оба раза выпадают нечётные числа.

   $$3\cdot 3=9,$$

   $$P=1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=\frac34.$$

   в) Произведение чисел выпавших очков будет чётным:

   Это возможно, если хотя бы одно из чисел чётное. Значит, вероятность такая же, как в пункте б):

   $$P=\frac34.$$

   г) В первый раз выпадает чётное число очков, а во второй — нечётное:

   $$3\cdot 3=9,$$

   $$P=\frac{9}{36}=\frac14.$$

   д) Одно из чисел чётное, а другое — нечётное:

   Таких исходов два: чётное–нечётное и нечётное–чётное.

   $$3\cdot 3+3\cdot 3=18,$$

   $$P=\frac{18}{36}=\frac12.$$

   е) Сумма чисел выпавших очков будет нечётной:

   Сумма нечётна тогда и только тогда, когда одно число чётное, а другое нечётное. Поэтому

   $$P=\frac12.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{a}}{a}$$; б) $$\frac{\sqrt{y}}{y}$$;
вероятность: а) $$\frac12$$, б) $$\frac34$$, в) $$\frac34$$, г) $$\frac14$$, д) $$\frac12$$, е) $$\frac12$$.