Упр.41 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) область определения и множество значений функции;
б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [5; 10];
в) корни уравнения у(х) = 1;
г) решение неравенства у(х) < 0.

Функция $$y=-\sqrt{x-1}+2$$.

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем:

$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Значит, область определения:

$$D(y)=[1;+\infty).$$

Так как $$\sqrt{x-1}\ge 0,$$ то

$$y=-\sqrt{x-1}+2\le 2.$$

При $$x\to +\infty$$ значение функции неограниченно убывает, поэтому множество значений:

$$E(y)=(-\infty;2].$$

На отрезке $$[5;10]$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается при $$x=5,$$ а наименьшее — при $$x=10.$$

Вычислим:

$$y(5)=-\sqrt{5-1}+2=-\sqrt4+2=-2+2=0,$$

$$y(10)=-\sqrt{10-1}+2=-\sqrt9+2=-3+2=-1.$$

Следовательно,

$$y_{\max}=0,\quad y_{\min}=-1.$$

Найдём корень уравнения $$y(x)=1$$:

$$1=-\sqrt{x-1}+2$$

$$\sqrt{x-1}=1$$

$$x-1=1$$

$$x=2.$$

Решим неравенство $$y(x)<0$$:

$$-\sqrt{x-1}+2<0$$

$$-\sqrt{x-1}<-2$$

$$\sqrt{x-1}>2$$

$$x-1>4$$

$$x>5.$$

Ответ

а) $$D(y)=[1;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;2].$$

б) $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}=-1.$$

в) $$x=2.$$

г) $$x\in(5;+\infty).$$