Упр.41.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   
   а) $$\left(\frac{a}{a-6}-\frac{2a}{a^2-12a+36}\right)\cdot\frac{a^2-36}{8-a}-\frac{12a}{6-a};$$
   
   б) $$\frac{24a}{a-4}+\left(\frac{3a}{a-4}-\frac{6a}{a^2-8a+16}\right):\frac{6-a}{a^2-16}.$$

а) Упростим выражение:

$$\left(\frac{a}{a-6}-\frac{2a}{a^2-12a+36}\right)\cdot \frac{a^2-36}{8-a}-\frac{12a}{6-a}$$

Заметим, что

$$a^2-12a+36=(a-6)^2,\qquad a^2-36=(a-6)(a+6),\qquad 8-a=-(a-8),\qquad 6-a=-(a-6).$$

Тогда

$$\frac{a}{a-6}-\frac{2a}{(a-6)^2} =\frac{a(a-6)-2a}{(a-6)^2} =\frac{a^2-8a}{(a-6)^2} =\frac{a(a-8)}{(a-6)^2}.$$

Умножим на вторую дробь:

$$\frac{a(a-8)}{(a-6)^2}\cdot \frac{(a-6)(a+6)}{8-a} = \frac{a(a+6)}{6-a}.$$

Теперь вычтем последнюю дробь:

$$\frac{a(a+6)}{6-a}-\frac{12a}{6-a} = \frac{a^2+6a-12a}{6-a} = \frac{a^2-6a}{6-a} = \frac{a(a-6)}{6-a} =-a.$$

б) Упростим выражение:

$$\frac{24a}{a-4}+\left(\frac{3a}{a-4}-\frac{6a}{a^2-8a+16}\right):\frac{6-a}{a^2-16}$$

Так как

$$a^2-8a+16=(a-4)^2,\qquad a^2-16=(a-4)(a+4),$$

то

$$\frac{3a}{a-4}-\frac{6a}{(a-4)^2} = \frac{3a(a-4)-6a}{(a-4)^2} = \frac{3a^2-18a}{(a-4)^2} = \frac{3a(a-6)}{(a-4)^2}.$$

Деление заменим умножением на обратную дробь:

$$\frac{3a(a-6)}{(a-4)^2}:\frac{6-a}{(a-4)(a+4)} = \frac{3a(a-6)}{(a-4)^2}\cdot \frac{(a-4)(a+4)}{6-a}.$$

Так как $$6-a=-(a-6),$$ получаем

$$-\frac{3a(a+4)}{a-4}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{24a}{a-4}-\frac{3a(a+4)}{a-4} = \frac{24a-3a^2-12a}{a-4} = \frac{12a-3a^2}{a-4} = \frac{3a(4-a)}{a-4} =-3a.$$

Ответ

а) $$-a$$; б) $$-3a$$.