Упр.41.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 8 класс, Просвещение: Найдите все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения x^2 — 2px + 2x — 1 = 0 будет наименьшей.

Приведём уравнение к стандартному виду:

$$x^2-2px+2x-1=0$$

$$x^2-(2p-2)x-1=0$$

Пусть его корни равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=2p-2,\qquad x_1x_2=-1.$$

Найдём сумму квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим значения:

$$x_1^2+x_2^2=(2p-2)^2-2(-1)=4p^2-8p+4+2=4p^2-8p+6.$$

Это квадратный трёхчлен по $$p$$. Его наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$p=\frac{8}{2\cdot 4}=1.$$

Проверим, что при этом уравнение имеет корни:

$$x^2-(2\cdot 1-2)x-1=0,$$

$$x^2-1=0,$$

откуда корни существуют.

Ответ

$$p=1,$$ при этом сумма квадратов корней наименьшая и равна $$2$$.