Упр.41.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- а) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$x^2+9x-1=0$$. Не решая уравнение, вычислите $$x_1^2+x_2^2$$.
б) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$x^2-9x-17=0$$. Не решая уравнение, вычислите $$x_1^2x_2+x_1x_2^2$$. - От станции до турбазы $$30$$ км. Из них $$24$$ км велосипедист проехал по шоссе с одной скоростью, а, свернув на лесную дорогу, снизил скорость на $$3\ \text{км/ч}$$. Найдите скорость велосипедиста по шоссе, если на весь путь он затратил $$2\ \text{ч}\ 40\ \text{мин}$$.
а) Для уравнения $$x^2+9x-1=0$$ по теореме Виета имеем:
$$x_1+x_2=-9,\qquad x_1x_2=-1.$$
Тогда
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 =(-9)^2-2\cdot(-1)=81+2=83.$$
б) Для уравнения $$x^2-9x-17=0$$ по теореме Виета:
$$x_1+x_2=9,\qquad x_1x_2=-17.$$
Искомое выражение:
$$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=-17\cdot 9=-153.$$
в) Пусть скорость велосипедиста по шоссе равна $$x$$ км/ч, тогда по лесной дороге он ехал со скоростью $$x-3$$ км/ч.
По шоссе он затратил $$\frac{24}{x}$$ ч, по лесной дороге — $$\frac{6}{x-3}$$ ч. Всего это $$2\text{ ч }40\text{ мин}=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$$ ч.
Составим уравнение:
$$\frac{24}{x}+\frac{6}{x-3}=\frac{8}{3}.$$
Умножим на $$3x(x-3)$$:
$$72(x-3)+18x=8x(x-3)$$
$$72x-216+18x=8x^2-24x$$
$$8x^2-114x+216=0$$
$$4x^2-57x+108=0.$$
Найдём корни:
$$D=57^2-4\cdot 4\cdot 108=3249-1728=1521=39^2.$$
$$x=\frac{57\pm 39}{8}.$$
$$x_1=\frac{57-39}{8}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}, \qquad x_2=\frac{57+39}{8}=\frac{96}{8}=12.$$
Так как $$x-3>0$$, то $$x>3$$, значит подходит только $$x=12$$.
Ответ
а) $$83$$; б) $$-153$$; в) $$12$$ км/ч.
