Упр.41.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
б) Пусть х_1 и x_2 — корни квадратного уравнения x^2 — 9x — 17 = 0. Не решая уравнение, вычислите x^2_1 x_2 + x_1 x^2_2. От станции до турбазы 30 км. Из них 24 км велосипедист проехал по шоссе с одной скоростью, а свернув на лесную дорогу, снизил скорость на 3 км/ч. Найдите скорость велосипедиста по шоссе, если на весь путь он затратил 2 ч 40 мин.
а) Для уравнения $$x^2+9x-1=0$$ по теореме Виета имеем:
$$x_1+x_2=-9,\qquad x_1x_2=-1.$$
Тогда
$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 =(-9)^2-2\cdot(-1)=81+2=83. $$
б) Для уравнения $$x^2-9x-17=0$$ по теореме Виета:
$$x_1+x_2=9,\qquad x_1x_2=-17.$$
Искомое выражение:
$$ x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=-17\cdot 9=-153. $$
в) Пусть скорость велосипедиста по шоссе равна $$x$$ км/ч, тогда по лесной дороге он ехал со скоростью $$x-3$$ км/ч.
По шоссе он затратил $$\frac{24}{x}$$ ч, по лесной дороге — $$\frac{6}{x-3}$$ ч. Всего это $$2\text{ ч }40\text{ мин}=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$$ ч.
Составим уравнение:
$$ \frac{24}{x}+\frac{6}{x-3}=\frac{8}{3}. $$
Умножим на $$3x(x-3)$$:
$$ 72(x-3)+18x=8x(x-3) $$
$$ 72x-216+18x=8x^2-24x $$
$$ 8x^2-114x+216=0 $$
$$ 4x^2-57x+108=0. $$
Найдём корни:
$$ D=57^2-4\cdot 4\cdot 108=3249-1728=1521=39^2. $$
$$ x=\frac{57\pm 39}{8}. $$
$$ x_1=\frac{57-39}{8}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}, \qquad x_2=\frac{57+39}{8}=\frac{96}{8}=12. $$
Так как $$x-3>0$$, то $$x>3$$, значит подходит только $$x=12$$.
Ответ
а) $$83$$; б) $$-153$$; в) $$12$$ км/ч.
