Упр.41.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
б) Не выполняя построения, найдите точки пересечения графика функции у = 31x^2 + 25x — 6 с осью абсцисс.
Решите уравнение:
а) 4x^2 — 9x = 0; г) x^2 + 3x — 54 = 0;
б) 4x^2 — 9 = 0; д) 3x^2 + 11x — 4 = 0;
в) x^2 — 4x — 32 = 0; е) 2x^2 + 3x + 1 = 0.
а) Точки пересечения с осью абсцисс найдём из уравнения $$23x^2+52x-75=0.$$
Подберём корни по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{52}{23}, \qquad x_1x_2=-\frac{75}{23}.$$
Подходит корень $$x_1=1,$$ тогда
$$1\cdot x_2=-\frac{75}{23}, \qquad x_2=-\frac{75}{23}=-3\frac{6}{23}.$$
Значит, точки пересечения: $$\left(1;0\right)$$ и $$\left(-3\frac{6}{23};0\right).$$
б) Точки пересечения с осью абсцисс найдём из уравнения $$31x^2+25x-6=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{25}{31}, \qquad x_1x_2=-\frac{6}{31}.$$
Подходит корень $$x_1=-1,$$ тогда
$$-1\cdot x_2=-\frac{6}{31}, \qquad x_2=\frac{6}{31}.$$
Значит, точки пересечения: $$\left(-1;0\right)$$ и $$\left(\frac{6}{31};0\right).$$
а) $$4x^2-9x=0$$
$$x(4x-9)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad 4x-9=0,$$
$$x=\frac{9}{4}.$$
б) $$4x^2-9=0$$
$$4x^2=9$$
$$x^2=\frac{9}{4}$$
$$x=\pm\frac{3}{2}.$$
в) $$x^2-4x-32=0$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=4, \qquad x_1x_2=-32.$$
Подходят корни $$x_1=-4,$$ $$x_2=8.$$
г) $$x^2+3x-54=0$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-3, \qquad x_1x_2=-54.$$
Подходят корни $$x_1=-9,$$ $$x_2=6.$$
д) $$3x^2+11x-4=0$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot(-4)=121+48=169$$
$$x=\frac{-11\pm\sqrt{169}}{2\cdot 3}=\frac{-11\pm 13}{6}.$$
$$x_1=-4, \qquad x_2=\frac{1}{3}.$$
е) $$2x^2+3x+1=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm 1}{4}.$$
$$x_1=-1, \qquad x_2=-\frac{1}{2}.$$
Ответ
а) $$\left(1;0\right), \left(-3\frac{6}{23};0\right);$$ б) $$\left(-1;0\right), \left(\frac{6}{31};0\right);$$ а) $$x=0,\ \frac{9}{4};$$ б) $$x=\pm\frac{3}{2};$$ в) $$x=-4,\ 8;$$ г) $$x=-9,\ 6;$$ д) $$x=-4,\ \frac{1}{3};$$ е) $$x=-1,\ -\frac{1}{2}.$$
