Упр.41.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) 13х^2 + 18x — 31 = 0; г) 6x^2 — 26x + 20 = 0;
б) 5x^2 — 27x + 22 = 0; д) 3x^2 + 35x — 38 = 0;
в) 7x^2 + 43x + 36 = 0; е) 11x^2 — 34x — 45 = 0.
Упростите выражение:
а) (x + 8)/(x^2 — 16) : ((x — 4)/(x^2 + 3x — 4) + 16/(x^2 — 16));
б) (a^3 — 9a)/(a — 9) · ((a + 3)/(a^2 + 2a — 3) — 9/(a^2 — 9)).

1. Решим квадратные уравнения по теореме Виета.

   а) $$13x^2+18x-31=0$$
   
   $$x_1+x_2=-\frac{18}{13}, \quad x_1x_2=-\frac{31}{13}$$
   
   Подходит корень $$x_1=1$$, тогда
   
   $$1\cdot x_2=-\frac{31}{13}$$
   
   $$x_2=-\frac{31}{13}=-2\frac{5}{13}$$

   б) $$5x^2-27x+22=0$$
   
   $$x_1+x_2=\frac{27}{5}, \quad x_1x_2=\frac{22}{5}$$
   
   Подходит корень $$x_1=1$$, тогда
   
   $$1\cdot x_2=\frac{22}{5}$$
   
   $$x_2=\frac{22}{5}=4{,}4$$

   в) $$7x^2+43x+36=0$$
   
   $$x_1+x_2=-\frac{43}{7}, \quad x_1x_2=\frac{36}{7}$$
   
   Подходит корень $$x_1=-1$$, тогда
   
   $$-1\cdot x_2=\frac{36}{7}$$
   
   $$x_2=-\frac{36}{7}=-5\frac{1}{7}$$

   г) $$6x^2-26x+20=0$$
   
   $$x_1+x_2=\frac{26}{6}, \quad x_1x_2=\frac{20}{6}$$
   
   Подходит корень $$x_1=1$$, тогда
   
   $$1\cdot x_2=\frac{20}{6}$$
   
   $$x_2=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$$

   д) $$3x^2+35x-38=0$$
   
   $$x_1+x_2=-\frac{35}{3}, \quad x_1x_2=-\frac{38}{3}$$
   
   Подходит корень $$x_1=1$$, тогда
   
   $$1\cdot x_2=-\frac{38}{3}$$
   
   $$x_2=-\frac{38}{3}=-12\frac{2}{3}$$

   е) $$11x^2-34x-45=0$$
   
   $$x_1+x_2=\frac{34}{11}, \quad x_1x_2=-\frac{45}{11}$$
   
   Подходит корень $$x_1=-1$$, тогда
   
   $$-1\cdot x_2=-\frac{45}{11}$$
   
   $$x_2=\frac{45}{11}=4\frac{1}{11}$$

2. Упростим выражения.

   а) $$\frac{x+8}{x^2-16}:\left(\frac{x-4}{x^2+3x-4}+\frac{16}{x^2-16}\right)$$
   
   Разложим на множители:
   
   $$x^2-16=(x-4)(x+4), \quad x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$
   
   Тогда
   
   $$\frac{x-4}{x^2+3x-4}+\frac{16}{x^2-16}=\frac{x^2+8x}{(x^2-16)(x-1)}$$
   
   и
   
   $$\frac{x+8}{x^2-16}:\frac{x^2+8x}{(x^2-16)(x-1)}=\frac{x+8}{x^2-16}\cdot\frac{(x^2-16)(x-1)}{x(x+8)}=\frac{x-1}{x}$$

   б) $$\frac{a^3-9a}{a-9}\cdot\left(\frac{a+3}{a^2+2a-3}-\frac{9}{a^2-9}\right)$$
   
   Разложим на множители:
   
   $$a^2+2a-3=(a+3)(a-1), \quad a^2-9=(a-3)(a+3)$$
   
   Тогда
   
   $$\frac{a+3}{a^2+2a-3}-\frac{9}{a^2-9}=\frac{a^2-9a}{(a^2-9)(a-1)}$$
   
   и
   
   $$\frac{a^3-9a}{a-9}\cdot\frac{a^2-9a}{(a^2-9)(a-1)}=\frac{a^2}{a-1}$$

Ответ

а) $$x_1=1,\ x_2=-2\frac{5}{13}$$;
б) $$x_1=1,\ x_2=4{,}4$$;
в) $$x_1=-1,\ x_2=-5\frac{1}{7}$$;
г) $$x_1=1,\ x_2=3\frac{1}{3}$$;
д) $$x_1=1,\ x_2=-12\frac{2}{3}$$;
е) $$x_1=-1,\ x_2=4\frac{1}{11}$$;
а) $$\frac{x-1}{x}$$;
б) $$\frac{a^2}{a-1}$$.