Упр.41.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Дано уравнение х^2 — (р^2 + 1)x + (2Р^2 — 9р — 12) = 0. При каком значении параметра р произведение его корней равно -21?
Набор домино состоит из «доминошек» — игровых костей в виде прямоугольника 2 x 1, на половинках которого записаны числа очков от 0 до 6.
Из набора домино наудачу достают одну «доминошку». Найдите вероятность того, что:
а) на ней записано число 6;
б) на ней нет числа 4;
в) это «дубль»;
г) это не «дубль»;
д) на ней есть или 2, или 3;
е) на ней нет ни 6, ни «пустышки».

Подробный ответ

а) Для уравнения $$x^2-(2p^2-p-6)x+(8p-1)=0$$ по теореме Виета сумма корней равна
$$x_1+x_2=2p^2-p-6.$$
По условию $$x_1+x_2=-5$$, значит
$$2p^2-p-6=-5,$$
$$2p^2-p-1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$
$$p=\frac{1\pm 3}{4}.$$
Получаем:
$$p_1=-\frac12,\quad p_2=1.$$
б) Для уравнения $$x^2-(p^2+1)x+(2p^2-9p-12)=0$$ произведение корней равно
$$x_1x_2=2p^2-9p-12.$$
По условию $$x_1x_2=-21$$, значит
$$2p^2-9p-12=-21,$$
$$2p^2-9p+9=0.$$
Находим корни:
$$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 9=81-72=9,$$
$$p=\frac{9\pm 3}{4}.$$
Следовательно,
$$p_1=\frac32,\quad p_2=3.$$
В наборе домино 28 костей.
а) Число 6 встречается на 7 костях: $$0\!-\!6,\ 1\!-\!6,\ 2\!-\!6,\ 3\!-\!6,\ 4\!-\!6,\ 5\!-\!6,\ 6\!-\!6.$$
$$P=\frac{7}{28}=\frac14.$$
б) Числа 4 нет на 21 кости, значит
$$P=\frac{21}{28}=\frac34.$$
в) Дублей 7:
$$P=\frac{7}{28}=\frac14.$$
г) Не дублей 21:
$$P=\frac{21}{28}=\frac34.$$
д) Число 2 или 3 есть на 13 костях, поэтому
$$P=\frac{13}{28}.$$
е) Костей с числом 6 — 7, с пустышкой — 6, а с 6 и пустышкой одновременно — 1. Тогда костей, где нет ни 6, ни пустышки:
$$28-7-6=15.$$
Значит,
$$P=\frac{15}{28}.$$