Упр.41.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) При каких значениях параметра $$р$$ сумма корней квадратного уравнения $$x^2 + (р^2 + 4р — 5)x — р = 0$$ равна нулю?
б) При каких значениях параметра $$р$$ произведение корней квадратного уравнения $$x^2 + 3x + (р^2 — 7р + 6) = 0$$ равно нулю?
Набор домино состоит из «доминошек» — игровых костей в виде прямоугольника $$2 \times 1$$, на половинках которого записаны числа очков от $$0$$ до $$6$$. Найдите количество «доминошек», на которых:
а) есть число очков, равное $$2$$;
б) есть число очков, равное $$3$$;
в) есть число очков, равное $$2$$ или $$3$$;
г) записаны одинаковые числа («дубли»);
д) сумма очков больше $$10$$;
е) сумма очков меньше $$5$$.

Подробный ответ

а) Для квадратного уравнения $$x^2+(p^2+4p-5)x-p=0$$ сумма корней равна $$x_1+x_2=-(p^2+4p-5).$$

По условию $$x_1+x_2=0,$$ значит

$$-(p^2+4p-5)=0,$$

$$p^2+4p-5=0.$$

Решим уравнение:

$$p^2+4p-5=(p+5)(p-1)=0.$$

Отсюда $$p=-5$$ или $$p=1.$$

б) Для уравнения $$x^2+3x+(p^2-7p+6)=0$$ произведение корней равно $$x_1x_2=p^2-7p+6.$$

По условию $$x_1x_2=0,$$ значит

$$p^2-7p+6=0.$$

Решим уравнение:

$$p^2-7p+6=(p-1)(p-6)=0.$$

Отсюда $$p=1$$ или $$p=6.$$

в) В наборе домино числа от 0 до 6. Доминошки, на которых есть число 2:

$$0\text{ и }2,\ 1\text{ и }2,\ 2\text{ и }2,\ 2\text{ и }3,\ 2\text{ и }4,\ 2\text{ и }5,\ 2\text{ и }6.$$

Таких доминошек $$7.$$

г) Доминошки, на которых есть число 3:

$$0\text{ и }3,\ 1\text{ и }3,\ 2\text{ и }3,\ 3\text{ и }3,\ 3\text{ и }4,\ 3\text{ и }5,\ 3\text{ и }6.$$

Таких доминошек $$7.$$

д) Доминошки, на которых есть число 2 или 3:

$$0\text{ и }2,\ 0\text{ и }3,\ 1\text{ и }2,\ 1\text{ и }3,\ 2\text{ и }2,\ 2\text{ и }3,\ 2\text{ и }4,\ 2\text{ и }5,\ 2\text{ и }6,\ 3\text{ и }3,\ 3\text{ и }4,\ 3\text{ и }5,\ 3\text{ и }6.$$

Таких доминошек $$13.$$

е) Дубли:

$$0\text{ и }0,\ 1\text{ и }1,\ 2\text{ и }2,\ 3\text{ и }3,\ 4\text{ и }4,\ 5\text{ и }5,\ 6\text{ и }6.$$

Таких доминошек $$7.$$

ж) Сумма очков больше 10:

$$5\text{ и }6,\ 6\text{ и }6.$$

Таких доминошек $$2.$$

з) Сумма очков меньше 5:

$$0\text{ и }0,\ 0\text{ и }1,\ 0\text{ и }2,\ 0\text{ и }3,\ 0\text{ и }4,\ 1\text{ и }1,\ 1\text{ и }2,\ 1\text{ и }3,\ 2\text{ и }2.$$

Таких доминошек $$9.$$