Упр.40.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Университет в течение двух лет увеличивал количество принятых на первый курс студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 до 2880 человек?
На автомобиле надо проехать друг за другом два светофора. В момент подъезда автомобиля к светофору горит красный, жёлтый или зелёный сигнал.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов цвета сигнала светофоров.
б) Сколько всего вариантов цвета сигнала светофоров?
в) Сколько всего вариантов цвета сигнала светофоров без красного цвета?
г) Сколько всего вариантов цвета сигнала светофоров с зелёным цветом?
д) Сколько всего вариантов цвета сигнала светофоров разного цвета?
е) Сколько всего вариантов цвета сигнала светофоров со вторым не красным цветом?

Подробный ответ

Пусть первоначальная зарплата была $$a$$ р., первое повышение составило $$x\%$$, тогда второе — $$2x\%$$.
После первого повышения зарплата стала
$$a+\frac{ax}{100}.$$
После второго повышения:
$$\left(a+\frac{ax}{100}\right)+\left(a+\frac{ax}{100}\right)\cdot\frac{2x}{100}=1{,}32a.$$
Упростим:
$$ \left(a+\frac{ax}{100}\right)\left(1+\frac{2x}{100}\right)=1{,}32a $$
$$ \left(100+x\right)\left(100+2x\right)=13200 $$
$$ 10000+300x+2x^2=13200 $$
$$ 2x^2+300x-3200=0 $$
$$ x^2+150x-1600=0. $$
Найдём корни:
$$ D=150^2+4\cdot1600=28900=170^2 $$
$$ x=\frac{-150\pm170}{2} $$
$$ x_1=-160,\quad x_2=10. $$
Подходит только положительное значение: $$x=10$$.
Пусть ежегодно приём студентов увеличивался на $$x\%$$.
Тогда через два года получим:
$$ 2000\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=2880. $$
Делим на $$2000$$:
$$ \left(1+\frac{x}{100}\right)^2=1{,}44. $$
$$ 1+\frac{x}{100}=1{,}2 $$
(отрицательное значение не подходит).
$$ \frac{x}{100}=0{,}2,\quad x=20. $$
Для двух светофоров возможны три цвета: $$К$$ — красный, $$Ж$$ — жёлтый, $$З$$ — зелёный.
Все варианты для двух светофоров:
$$КК,\ КЖ,\ КЗ,\ ЖК,\ ЖЖ,\ ЖЗ,\ ЗК,\ ЗЖ,\ ЗЗ.$$
Тогда:
- б) всего вариантов — $$9$$;
- в) без красного цвета — $$ЖЖ,\ ЖЗ,\ ЗЖ,\ ЗЗ$$, всего $$4$$;
- г) с зелёным цветом — $$КЗ,\ ЖЗ,\ ЗК,\ ЗЖ,\ ЗЗ$$, всего $$5$$;
- д) разного цвета — $$КЖ,\ КЗ,\ ЖК,\ ЖЗ,\ ЗК,\ ЗЖ$$, всего $$6$$;
- е) второй не красный цвет — $$КЖ,\ КЗ,\ ЖЖ,\ ЖЗ,\ ЗЖ,\ ЗЗ$$, всего $$6$$.