Упр.40.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

б) Лодка прошла 3 км по течению реки и 3 км против течения реки за то же время, за которое плот мог бы проплыть 4 км по течению. Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Найдите скорость течения реки.
Наудачу выбирают целое неотрицательное число, которое меньше ста.
Какова вероятность того, что выбранное число окажется:
а) чётным; г) кратным семи;
б) нечётным; д) нечётным и кратным семи;
в) кратным пяти; е) или чётным, или кратным пяти?

1. а) Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость по течению равна $$x+2$$ км/ч, а против течения — $$x-2$$ км/ч.

   Тогда время движения:

   по течению: $$\frac{36}{x+2}$$ ч,

   против течения: $$\frac{36}{x-2}$$ ч.

   Стоянка длилась $$\frac{1}{2}$$ ч, а всего прошло 8 ч, значит:

   $$ \frac{36}{x-2}+\frac{36}{x+2}+\frac{1}{2}=8 $$

   $$ \frac{36}{x-2}+\frac{36}{x+2}=\frac{15}{2} $$

   Умножим на $$2(x-2)(x+2)$$:

   $$ 72(x+2)+72(x-2)=15(x^2-4) $$

   $$ 144x=15x^2-60 $$

   $$ 15x^2-144x-60=0 $$

   $$ 5x^2-48x-20=0 $$

   $$ D=(-48)^2-4\cdot 5\cdot(-20)=2304+400=2704=52^2 $$

   $$ x=\frac{48\pm 52}{10} $$

   $$ x_1=-0{,}4 \text{ (не подходит)}, \qquad x_2=10 $$

   Следовательно, собственная скорость теплохода равна $$10$$ км/ч.

2. б) Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $$6+x$$ км/ч, а против течения — $$6-x$$ км/ч.

   По условию:

   $$ \frac{3}{6+x}+\frac{3}{6-x}=\frac{4}{x} $$

   Умножим на $$x(6-x)(6+x)$$:

   $$ 3x(6-x)+3x(6+x)=4(36-x^2) $$

   $$ 36x=144-4x^2 $$

   $$ 4x^2+36x-144=0 $$

   $$ x^2+9x-36=0 $$

   $$ D=9^2+4\cdot 36=81+144=225=15^2 $$

   $$ x=\frac{-9\pm 15}{2} $$

   $$ x_1=-12 \text{ (не подходит)}, \qquad x_2=3 $$

   Следовательно, скорость течения реки равна $$3$$ км/ч.

3. в) Всего целых неотрицательных чисел, меньших 100, — $$100$$.

   Чётных чисел среди них $$50$$, значит:

   $$ P=\frac{50}{100}=0{,}5 $$

4. г) Кратных семи чисел среди чисел от 0 до 99:

   $$ 0,7,14,\dots,98 $$

   Их $$15$$, значит:

   $$ P=\frac{15}{100}=0{,}15 $$

5. д) Нечётных и кратных семи чисел среди чисел от 0 до 99:

   $$ 7,21,35,49,63,77,91 $$

   Их $$7$$, значит:

   $$ P=\frac{7}{100}=0{,}07 $$

6. е) Чётных чисел — $$50$$, кратных пяти — $$20$$. Чисел, которые одновременно чётные и кратные пяти, то есть кратные $$10$$, — $$10$$.

   Тогда по формуле сложения вероятностей:

   $$ P=\frac{50+20-10}{100}=\frac{60}{100}=0{,}6 $$

Ответ

а) $$10$$ км/ч; б) $$3$$ км/ч; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}15$$; д) $$0{,}07$$; е) $$0{,}6$$.