Упр.40.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- а) Прогулочный теплоход отправился от пристани В вниз по течению реки. После получасовой стоянки в А он отправился обратно и через $$8\ \text{ч}$$ после отплытия из А вернулся к той же пристани. Какова собственная скорость теплохода, если расстояние между пристанями А и В равно $$36\ \text{км}$$, а скорость течения реки равна $$2\ \text{км/ч}$$?
б) Лодка прошла $$3\ \text{км}$$ по течению реки и $$3\ \text{км}$$ против течения реки за то же время, за которое плот мог бы проплыть $$4\ \text{км}$$ по течению. Собственная скорость лодки равна $$6\ \text{км/ч}$$. Найдите скорость течения реки. - Наудачу выбирают целое неотрицательное число, которое меньше ста. Какова вероятность того, что выбранное число окажется:
а) чётным;
б) нечётным;
в) кратным пяти;
г) кратным семи;
д) нечётным и кратным семи;
е) или чётным, или кратным пяти?
а) Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость по течению равна $$x+2$$ км/ч, а против течения — $$x-2$$ км/ч.
Тогда время движения:
по течению: $$\frac{36}{x+2}$$ ч,
против течения: $$\frac{36}{x-2}$$ ч.
Стоянка длилась $$\frac{1}{2}$$ ч, а всего прошло 8 ч, значит:
$$\frac{36}{x-2}+\frac{36}{x+2}+\frac{1}{2}=8$$
$$\frac{36}{x-2}+\frac{36}{x+2}=\frac{15}{2}$$
Умножим на $$2(x-2)(x+2)$$:
$$72(x+2)+72(x-2)=15(x^2-4)$$
$$144x=15x^2-60$$
$$15x^2-144x-60=0$$
$$5x^2-48x-20=0$$
$$D=(-48)^2-4\cdot 5\cdot(-20)=2304+400=2704=52^2$$
$$x=\frac{48\pm 52}{10}$$
$$x_1=-0{,}4 \text{ (не подходит)}, \qquad x_2=10$$
Следовательно, собственная скорость теплохода равна $$10$$ км/ч.
б) Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $$6+x$$ км/ч, а против течения — $$6-x$$ км/ч.
По условию:
$$\frac{3}{6+x}+\frac{3}{6-x}=\frac{4}{x}$$
Умножим на $$x(6-x)(6+x)$$:
$$3x(6-x)+3x(6+x)=4(36-x^2)$$
$$36x=144-4x^2$$
$$4x^2+36x-144=0$$
$$x^2+9x-36=0$$
$$D=9^2+4\cdot 36=81+144=225=15^2$$
$$x=\frac{-9\pm 15}{2}$$
$$x_1=-12 \text{ (не подходит)}, \qquad x_2=3$$
Следовательно, скорость течения реки равна $$3$$ км/ч.
в) Всего целых неотрицательных чисел, меньших 100, — $$100$$.
Чётных чисел среди них $$50$$, значит:
$$P=\frac{50}{100}=0{,}5$$
г) Кратных семи чисел среди чисел от 0 до 99:
$$0,7,14,\dots,98$$
Их $$15$$, значит:
$$P=\frac{15}{100}=0{,}15$$
д) Нечётных и кратных семи чисел среди чисел от 0 до 99:
$$7,21,35,49,63,77,91$$
Их $$7$$, значит:
$$P=\frac{7}{100}=0{,}07$$
е) Чётных чисел — $$50$$, кратных пяти — $$20$$. Чисел, которые одновременно чётные и кратные пяти, то есть кратные $$10$$, — $$10$$.
Тогда по формуле сложения вероятностей:
$$P=\frac{50+20-10}{100}=\frac{60}{100}=0{,}6$$
Ответ
а) $$10$$ км/ч; б) $$3$$ км/ч; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}15$$; д) $$0{,}07$$; е) $$0{,}6$$.
