Упр.40.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Расстояние 21 км катер проходит но течению реки на 0,4 ч быстрее, чем против течения. Определите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
Наудачу выбирают целое неотрицательное число, которое меньше ста.
Какова вероятность того, что выбранное число окажется:
а) больше 11;
б) меньше 23;
в) больше 11 и меньше 23;
г) или меньше 11, или больше 23;
д) принадлежащим промежутку (23,45; 67,89];
е) принадлежащим отрезку [v50; v5000]?

Подробный ответ

а) Пусть собственная скорость лодки равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению реки она шла со скоростью $$x+3$$ км/ч, а по озеру — со скоростью $$x$$ км/ч.
Составим уравнение по времени:
$$\frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1$$
Умножим на $$x(x+3)$$:
$$6x+10(x+3)=x(x+3)$$
$$6x+10x+30=x^2+3x$$
$$x^2-13x-30=0$$
$$D=169+120=289=17^2$$
$$x_1=\frac{13-17}{2}=-2,\quad x_2=\frac{13+17}{2}=15$$
Так как скорость не может быть отрицательной, получаем $$x=15$$.
б) Пусть собственная скорость катера равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению его скорость $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.
По условию:
$$\frac{21}{x-3}-\frac{21}{x+3}=0{,}4$$
Преобразуем:
$$\frac{21(x+3)-21(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{5}$$
$$\frac{126}{x^2-9}=\frac{2}{5}$$
$$630=2x^2-18$$
$$2x^2=648$$
$$x^2=324$$
$$x=18$$
Скорость положительна и больше $$3$$, значит подходит $$x=18$$.
в) Целых неотрицательных чисел, меньших $$100$$, всего $$100$$.
Чисел, больших $$11$$, от $$12$$ до $$99$$, то есть $$88$$.
Тогда
$$P=\frac{88}{100}=0{,}88$$
г) Чисел, меньших $$11$$, всего $$11$$: от $$0$$ до $$10$$.
Чисел, больших $$23$$, от $$24$$ до $$99$$, то есть $$76$$.
Тогда
$$P=\frac{11+76}{100}=\frac{87}{100}=0{,}87$$
д) В промежуток $$\left(23{,}45;67{,}89\right]$$ входят целые числа от $$24$$ до $$67$$.
Их количество:
$$67-24+1=44$$
Тогда
$$P=\frac{44}{100}=0{,}44$$
е) Отрезок $$\left[\sqrt{50};\sqrt{5000}\right]$$.
Так как $$\sqrt{50}\approx 7{,}07$$, а $$\sqrt{5000}\approx 70{,}71$$, то подходят целые числа от $$8$$ до $$70$$.
Их количество:
$$70-8+1=63$$
Тогда
$$P=\frac{63}{100}=0{,}63$$