Упр.40.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Расстояние между городами 44 км. Из этих городов навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода и встретились через 4 ч. Если бы первый вышел на 44 мин раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?
Наудачу выбирают целое неотрицательное число, которое меньше ста.
Какова вероятность того, что выбранное число окажется:
а) равным 11;
б) равным 23;
в) равным 45;
г) элементом множества {1, 7, 72, 81};
д) элементом множества {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64};
е) элементом множества {10, 20, …, 90}?

Подробный ответ

а) Пусть велосипедист планировал ехать со скоростью $$x$$ км/ч. Тогда за $$1\text{ ч }15\text{ мин} = \frac{5}{4}\text{ ч}$$ он должен был проезжать $$\frac{5x}{4}$$ км, а фактически проезжал на 1 км больше, то есть со скоростью $$\frac{5x}{4}+1$$ км/ч.

По условию весь путь $$96$$ км он проехал на 2 ч быстрее, чем предполагал:

$$ \frac{96}{x}-\frac{96}{\frac{5x}{4}+1}=2 $$

Умножим на $$x\left(\frac{5x}{4}+1\right)$$:

$$ 96\left(\frac{5x}{4}+1\right)-96x=2x\left(\frac{5x}{4}+1\right) $$

$$ 120x+384-96x=\frac{5}{2}x^2+2x $$

$$ 24x+384=\frac{5}{2}x^2+2x $$

$$ 5x^2-44x-768=0 $$

Решая квадратное уравнение, получаем положительный корень $$x=12$$.

Тогда фактическая скорость велосипедиста:

$$ \frac{5\cdot 12}{4}+1=15+1=16 $$

б) Скорость сближения пешеходов равна

$$ \frac{44}{4}=11 \text{ км/ч} $$

Пусть скорость первого пешехода равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго равна $$11-x$$ км/ч.

Если бы первый вышел на $$44$$ мин раньше второго, то есть на $$\frac{44}{60}=\frac{11}{15}$$ ч раньше, то встреча произошла бы в середине пути. Значит, каждый прошёл бы по $$22$$ км.

Составим уравнение:

$$ \frac{22}{x}-\frac{22}{11-x}=\frac{11}{15} $$

$$ 15(11-x)-15x=11x(11-x)\cdot \frac{1}{22} $$

После преобразований получаем:

$$ x^2-71x+330=0 $$

$$ D=71^2-4\cdot 330=3721=61^2 $$

$$ x=\frac{71-61}{2}=5 $$

Тогда скорость второго пешехода:

$$ 11-5=6 $$

в) Всего целых неотрицательных чисел, меньших 100, ровно $$100$$. Поэтому вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к $$100$$.

а) Число $$11$$ встречается один раз:

$$ P=\frac{1}{100}=0{,}01 $$