Упр.40.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года
а) Велосипедист проехал $$96\ \text{км}$$ на $$2\ \text{ч}$$ быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на $$1\ \text{км}$$ больше, чем намеревался проезжать за $$1\ \text{ч}\ 15\ \text{мин}$$. С какой скоростью ехал велосипедист?
б) Расстояние между городами $$44\ \text{км}$$. Из этих городов навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода и встретились через $$4\ \text{ч}$$. Если бы первый вышел на $$44\ \text{мин}$$ раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?
- Задание учебника 2019 года
Наудачу выбирают целое неотрицательное число, которое меньше ста. Какова вероятность того, что выбранное число окажется:
а) равным $$11$$;
б) равным $$23$$;
в) равным $$45$$;
г) элементом множества $$\{1, 7, 72, 81\}$$;
д) элементом множества $$\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64\}$$;
е) элементом множества $$\{10, 20, \ldots, 90\}$$?
а) Пусть велосипедист планировал ехать со скоростью $$x$$ км/ч. Тогда за $$1\text{ ч }15\text{ мин} = \frac{5}{4}\text{ ч}$$ он должен был проезжать $$\frac{5x}{4}$$ км, а фактически проезжал на 1 км больше, то есть со скоростью $$\frac{5x}{4}+1$$ км/ч.
По условию весь путь $$96$$ км он проехал на 2 ч быстрее, чем предполагал:
$$\frac{96}{x}-\frac{96}{\frac{5x}{4}+1}=2$$
Умножим на $$x\left(\frac{5x}{4}+1\right)$$:
$$96\left(\frac{5x}{4}+1\right)-96x=2x\left(\frac{5x}{4}+1\right)$$
$$120x+384-96x=\frac{5}{2}x^2+2x$$
$$24x+384=\frac{5}{2}x^2+2x$$
$$5x^2-44x-768=0$$
Решая квадратное уравнение, получаем положительный корень $$x=12$$.
Тогда фактическая скорость велосипедиста:
$$\frac{5\cdot 12}{4}+1=15+1=16$$
б) Скорость сближения пешеходов равна
$$\frac{44}{4}=11 \text{ км/ч}$$
Пусть скорость первого пешехода равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго равна $$11-x$$ км/ч.
Если бы первый вышел на $$44$$ мин раньше второго, то есть на $$\frac{44}{60}=\frac{11}{15}$$ ч раньше, то встреча произошла бы в середине пути. Значит, каждый прошёл бы по $$22$$ км.
Составим уравнение:
$$\frac{22}{x}-\frac{22}{11-x}=\frac{11}{15}$$
$$15(11-x)-15x=11x(11-x)\cdot \frac{1}{22}$$
После преобразований получаем:
$$x^2-71x+330=0$$
$$D=71^2-4\cdot 330=3721=61^2$$
$$x=\frac{71-61}{2}=5$$
Тогда скорость второго пешехода:
$$11-5=6$$
в) Всего целых неотрицательных чисел, меньших 100, ровно $$100$$. Поэтому вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к $$100$$.
а) Число $$11$$ встречается один раз:
$$P=\frac{1}{100}=0{,}01$$
б) Число $$23$$ встречается один раз:
$$P=\frac{1}{100}=0{,}01$$
в) Число $$45$$ встречается один раз:
$$P=\frac{1}{100}=0{,}01$$
г) Элементов множества $$\{1,7,72,81\}$$ четыре:
$$P=\frac{4}{100}=0{,}04$$
д) Элементов множества $$\{1,2,4,8,16,32,64\}$$ семь:
$$P=\frac{7}{100}=0{,}07$$
е) Элементов множества $$\{10,20,\ldots,90\}$$ девять:
$$P=\frac{9}{100}=0{,}09$$
Ответ
а) $$16$$ км/ч; б) $$5$$ км/ч и $$6$$ км/ч; в) а) $$0{,}01$$; б) $$0{,}01$$; в) $$0{,}01$$; г) $$0{,}04$$; д) $$0{,}07$$; е) $$0{,}09$$.
