Упр.40.2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) Два автомобиля выехали одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на $$10\ \text{км/ч}$$ больше скорости второго, и поэтому первый приехал на место на $$1\ \text{ч}$$ раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно $$560\ \text{км}$$.
б) Велосипедист рассчитывал проехать по маршруту ВС за $$2\ \text{ч}$$. Однако, когда до пункта С оставалось $$6\ \text{км}$$, из-за встречного ветра он снизил скорость на $$3\ \text{км/ч}$$ и прибыл в пункт С на $$6\ \text{мин}$$ позже, чем рассчитывал. Чему равна длина маршрута ВС?
На шести гранях игрального кубика по одному расставлены числа очков от $$1$$ до $$6$$. Кубик бросают один раз. Какова вероятность того, что выпадет:
а) положительное число очков;
б) нечётное число очков;
в) чётное число очков;
г) число очков, кратное трём;
д) число очков, меньшее $$\sqrt{5}$$;
е) число очков, большее ??.

Подробный ответ

Пусть скорость первого автомобиля равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна $$x-10$$ км/ч.
Время в пути первого автомобиля: $$\frac{560}{x}$$ ч, второго: $$\frac{560}{x-10}$$ ч.
По условию первый приехал на 1 ч раньше, значит:
$$\frac{560}{x-10}-\frac{560}{x}=1$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{560x-560(x-10)}{x(x-10)}=1$$
$$560x-560x+5600=x(x-10)$$
$$x^2-10x-5600=0$$
$$D=100+22400=22500=150^2$$
$$x=\frac{10\pm150}{2}$$
$$x_1=-70 \text{ (не подходит)}, \quad x_2=80$$
Тогда скорость второго автомобиля:
$$80-10=70$$ км/ч.
Пусть длина маршрута $$BC$$ равна $$s$$ км. Тогда велосипедист планировал ехать со скоростью $$\frac{s}{2}$$ км/ч.
Первые $$s-6$$ км он ехал со скоростью $$\frac{s}{2}$$ км/ч, а последние 6 км — со скоростью $$\frac{s}{2}-3$$ км/ч.
По условию он прибыл на 6 мин позже, то есть за $$2+\frac{1}{10}=\frac{21}{10}$$ ч.
Составим уравнение:
$$\frac{s-6}{s/2}+\frac{6}{s/2-3}=\frac{21}{10}$$
Упростим:
$$\frac{2(s-6)}{s}+\frac{12}{s-6}=\frac{21}{10}$$
$$20(s-6)^2+120s-21s(s-6)=0$$
$$-s^2+6s+720=0$$
$$s^2-6s-720=0$$
$$D=36+2880=2916=54^2$$
$$s=\frac{6\pm54}{2}$$
$$s_1=-24 \text{ (не подходит)}, \quad s_2=30$$
Значит, длина маршрута равна 30 км.
На кубике 6 равновозможных исходов.
а) Положительное число очков выпадает всегда, поэтому
$$P= \frac{6}{6}=1$$
б) Нечётные числа: $$1,3,5$$, значит
$$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
в) Чётные числа: $$2,4,6$$, значит
$$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
г) Кратные 3 числа: $$3,6$$, значит
$$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
д) Числа, меньшие $$\sqrt{5}$$: $$1,2$$, значит
$$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
е) Числа, большие $$\pi$$: $$4,5,6$$, значит
$$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$