Упр.40.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Постройте и прочитайте график функции $$y=-|x-1|+4$$.
- С помощью циркуля постройте на оси $$x$$ координатной плоскости $$xOy$$ точку: а) $$\sqrt{2}$$; в) $$\sqrt{5}$$; д) $$1+\sqrt{2}$$; б) $$\sqrt{3}$$; г) $$\sqrt{6}$$; е) $$2-\sqrt{3}$$.
Преобразуем модуль по частям:
$$y=-|x-1|+4= \begin{cases} x+3, & x<1,\\ -x+5, & x\ge 1. \end{cases}$$
Значит, график состоит из двух лучей, которые образуют «угол» с вершиной в точке $$\left(1;4\right)$$.
Найдём основные точки:
$$y=0 \Rightarrow -|x-1|+4=0 \Rightarrow |x-1|=4$$
$$x-1=4 \Rightarrow x=5,\qquad x-1=-4 \Rightarrow x=-3.$$
Следовательно, график пересекает ось $$Ox$$ в точках $$(-3;0)$$ и $$(5;0)$$, а ось $$Oy$$ — в точке $$(0;3)$$.
Функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$. Наибольшее значение равно $$4$$, поэтому область значений:
$$(-\infty;4].$$
Построение точек с помощью циркуля:
- $$\sqrt2$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $$1$$ и $$1$$;
- $$\sqrt3$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $$1$$ и $$\sqrt2$$;
- $$\sqrt5$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $$1$$ и $$2$$;
- $$\sqrt6$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $$\sqrt2$$ и $$2$$;
- $$1+\sqrt2$$ — откладываем на оси $$Ox$$ от точки $$1$$ вправо отрезок длиной $$\sqrt2$$;
- $$2-\sqrt3$$ — откладываем на оси $$Ox$$ от точки $$2$$ влево отрезок длиной $$\sqrt3$$.
Ответ: вершина графика $$\left(1;4\right)$$, нули функции $$x=-3$$ и $$x=5$$, область значений $$(-\infty;4]$$; точки на оси $$Ox$$: $$\sqrt2,\ \sqrt3,\ \sqrt5,\ \sqrt6,\ 1+\sqrt2,\ 2-\sqrt3$$.
