Упр.40.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

б) Смешали два раствора кислоты разной концентрации и получили 700 г нового раствора. Известно, что первый раствор содержал 180 г кислоты, а второй — 80 г такой же кислоты. Найдите процентную концентрацию первого и второго раствора, если она на 40 % больше концентрации второго раствора. Составляют квадратичную функцию у = ах^2 + c. Сначала наудачу выбирают старший коэффициент а ? {-1; 1; 2}, затем свободный коэффициент с ? {-1; 0; 1; 2}. После этого изображают соответствующую параболу.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов составления таких функций.
б) Сколько всего таких парабол?
в) Сколько всего парабол с ветвями вверх?
г) Сколько всего парабол с ветвями вниз?
д) Сколько всего парабол, проходящих через начало координат?
е) Сколько всего парабол, не пересекающих ось Ох?

1. Пусть $$x$$ — концентрация первого раствора, тогда концентрация второго раствора равна $$x+0{,}3$$.

   Масса кислоты в первом растворе: $$72$$ г, во втором — $$120$$ г. Тогда составим уравнение по условию:

   $$ \frac{72}{x}=\frac{120}{x+0{,}3} $$

   Решим его:

   $$ 72(x+0{,}3)=120x $$

   $$ 72x+21{,}6=120x $$

   $$ 48x=21{,}6 $$

   $$ x=0{,}45 $$

   Значит, концентрация первого раствора $$45\%$$, а второго — $$75\%$$.

2. Пусть $$x$$ — концентрация первого раствора, тогда концентрация второго раствора равна $$x-0{,}4$$.

   Составим уравнение:

   $$ \frac{180}{x}=\frac{80}{x-0{,}4} $$

   Решим его:

   $$ 180(x-0{,}4)=80x $$

   $$ 180x-72=80x $$

   $$ 100x=72 $$

   $$ x=0{,}72 $$

   Тогда концентрация первого раствора $$72\%$$, а второго — $$32\%$$.

3. Квадратичная функция имеет вид $$y=ax^2+c$$, где $$a\in\{-1;1;2\}$$, $$c\in\{-1;0;1;2\}$$.

   Всего возможных пар $$\left(a,c\right)$$:

   $$ 3\cdot 4=12 $$

   а) Возможные варианты составления функций можно представить как все пары значений $$a$$ и $$c$$.

   б) Всего таких парабол: $$12$$.

   в) Ветви вверх имеют параболы при $$a=1$$ и $$a=2$$, значит:

   $$ 2\cdot 4=8 $$

   г) Ветви вниз имеют параболы при $$a=-1$$, значит:

   $$ 1\cdot 4=4 $$

   д) Через начало координат проходят параболы при $$c=0$$, значит:

   $$ 3 $$

   е) Не пересекают ось $$Ox$$ параболы, у которых вершина не ниже оси и ветви направлены вверх, либо вершина не выше оси и ветви направлены вниз. Подходят:

   $$ y=-x^2-1,\quad y=x^2+1,\quad y=x^2+2,\quad y=2x^2+1,\quad y=2x^2+2 $$

   Их всего $$5$$.

Ответ

а) $$12$$ вариантов; б) $$12$$; в) $$8$$; г) $$4$$; д) $$3$$; е) $$5$$.