Упр.40.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) Смешали два раствора кислоты разной концентрации и получили 320 г нового раствора. Известно, что первый раствор содержал 72 г кислоты, а второй — 120 г такой же кислоты. Найдите процентную концентрацию первого и второго раствора, если известно, что она на $$30\%$$ меньше концентрации второго раствора.
б) Смешали два раствора кислоты разной концентрации и получили 700 г нового раствора. Известно, что первый раствор содержал 180 г кислоты, а второй — 80 г такой же кислоты. Найдите процентную концентрацию первого и второго раствора, если она на $$40\%$$ больше концентрации второго раствора.
Составляют квадратичную функцию $$y=ax^2+c$$. Сначала наудачу выбирают старший коэффициент $$a\in\{-1;1;2\}$$, затем свободный коэффициент $$c\in\{-1;0;1;2\}$$. После этого изображают соответствующую параболу.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов составления таких функций.
б) Сколько всего таких парабол?
в) Сколько всего парабол с ветвями вверх?
г) Сколько всего парабол с ветвями вниз?
д) Сколько всего парабол, проходящих через начало координат?
е) Сколько всего парабол, не пересекающих ось $$Ox$$?
Пусть $$x$$ — концентрация первого раствора, тогда концентрация второго раствора равна $$x+0{,}3$$.
Масса кислоты в первом растворе: $$72$$ г, во втором — $$120$$ г. Тогда составим уравнение по условию:
$$\frac{72}{x}=\frac{120}{x+0{,}3}$$
Решим его:
$$72(x+0{,}3)=120x$$
$$72x+21{,}6=120x$$
$$48x=21{,}6$$
$$x=0{,}45$$
Значит, концентрация первого раствора $$45\%$$, а второго — $$75\%$$.
Пусть $$x$$ — концентрация первого раствора, тогда концентрация второго раствора равна $$x-0{,}4$$.
Составим уравнение:
$$\frac{180}{x}=\frac{80}{x-0{,}4}$$
Решим его:
$$180(x-0{,}4)=80x$$
$$180x-72=80x$$
$$100x=72$$
$$x=0{,}72$$
Тогда концентрация первого раствора $$72\%$$, а второго — $$32\%$$.
Квадратичная функция имеет вид $$y=ax^2+c$$, где $$a\in\{-1;1;2\}$$, $$c\in\{-1;0;1;2\}$$.
Всего возможных пар $$\left(a,c\right)$$:
$$3\cdot 4=12$$
а) Возможные варианты составления функций можно представить как все пары значений $$a$$ и $$c$$.
б) Всего таких парабол: $$12$$.
в) Ветви вверх имеют параболы при $$a=1$$ и $$a=2$$, значит:
$$2\cdot 4=8$$
г) Ветви вниз имеют параболы при $$a=-1$$, значит:
$$1\cdot 4=4$$
д) Через начало координат проходят параболы при $$c=0$$, значит:
$$3$$
е) Не пересекают ось $$Ox$$ параболы, у которых вершина не ниже оси и ветви направлены вверх, либо вершина не выше оси и ветви направлены вниз. Подходят:
$$y=-x^2-1,\quad y=x^2+1,\quad y=x^2+2,\quad y=2x^2+1,\quad y=2x^2+2$$
Их всего $$5$$.
Ответ
а) $$12$$ вариантов; б) $$12$$; в) $$8$$; г) $$4$$; д) $$3$$; е) $$5$$.
