Упр.40.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка? На автомобиле надо проехать друг за другом два светофора. В момент подъезда автомобиля к светофору горит красный, жёлтый или зелёный сигнал.
По дереву вариантов наудачу выбирают один из вариантов цвета сигнала светофоров. Какова вероятность того, что будет выбран вариант, в котором:
а) оба сигнала светофора красные;
б) оба сигнала светофора жёлтые;
в) сигналы светофоров одного цвета;
г) сигналы светофоров разного цвета;
д) сигнал первого светофора зелёный;
е) сигнал второго светофора не жёлтый?

Подробный ответ

Пусть масса первоначального сплава равна $$x$$ г. Тогда масса нового сплава равна $$x+100$$ г.
В первоначальном сплаве золота было $$80$$ г, а в новом — $$180$$ г. По условию содержание золота увеличилось на $$20\% = 0{,}2$$, значит:
$$\frac{180}{x+100}-\frac{80}{x}=0{,}2$$
$$\frac{180}{x+100}-\frac{80}{x}=\frac15$$
Умножим на $$5x(x+100)$$:
$$900x-400(x+100)-x(x+100)=0$$
$$900x-400x-40000-x^2-100x=0$$
$$x^2-400x+40000=0$$
$$\left(x-200\right)^2=0$$
$$x=200$$ г — масса первоначального сплава.
Тогда масса полученного сплава:
$$200+100=300$$ г.
Пусть первоначальная масса сплава равна $$x$$ кг. Тогда масса нового сплава равна $$x+15$$ кг.
В первоначальном сплаве цинка было $$5$$ кг, а в новом — $$20$$ кг. По условию содержание цинка повысилось на $$30\% = 0{,}3$$, значит:
$$\frac{20}{x+15}-\frac{5}{x}=0{,}3$$
$$\frac{20}{x+15}-\frac{5}{x}=\frac{3}{10}$$
Умножим на $$10x(x+15)$$:
$$200x-50(x+15)-3x(x+15)=0$$
$$200x-50x-750-3x^2-45x=0$$
$$-3x^2+105x-750=0$$
$$x^2-35x+250=0$$
$$D=35^2-4\cdot 250=1225-1000=225$$
$$x_{1,2}=\frac{35\pm 15}{2}$$
$$x_1=10,\quad x_2=25$$
Если $$x=10$$ кг, то меди и цинка поровну, что не подходит. Значит, первоначальная масса сплава равна $$25$$ кг.
Всего возможных исходов: $$3\cdot 3=9$$.
Для каждого пункта считаем число благоприятных исходов:
- а) оба сигнала красные — $$1$$ исход;
- б) оба сигнала жёлтые — $$1$$ исход;
- в) сигналы одного цвета — $$3$$ исхода;
- г) сигналы разного цвета — $$6$$ исходов;
- д) первый сигнал зелёный — $$3$$ исхода;
- е) второй сигнал не жёлтый — $$6$$ исходов.
Тогда:
$$P(a)=\frac19,\quad P(b)=\frac19,\quad P(в)=\frac39=\frac13,\quad P(г)=\frac69=\frac23,\quad P(д)=\frac39=\frac13,\quad P(е)=\frac69=\frac23.$$