Упр.40.1 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

В записи $$*\ ?\ \mid$$ вместо $$*$$ можно поставить $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt{3}$$ или $$\sqrt{5}$$, вместо $$?$$ поставить знак «?» или знак «?», а вместо $$\mid$$ поставить $$1{,}5$$, $$1{,}7$$ или $$2{,}8$$. Будут получаться различные неравенства, например: $$\sqrt{2}\ ?\ 1{,}5$$, $$\sqrt{5}\ ?\ 2{,}3$$ и т. п.
а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких неравенств.
б) Сколько всего неравенств можно составить? Какова вероятность того, что случайным образом выбранное неравенство:
в) со знаком «?» окажется неверным;
г) со знаком «?» окажется верным?

Подробный ответ

Возможны три выбора для левой части неравенства: $$\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{5}.$$

Для знака неравенства есть два варианта: $$\ge$$ и $$\le.$$

Для правой части есть три выбора: $$1{,}5,\ 1{,}7,\ 2{,}3.$$

Тогда число всех возможных неравенств равно:

$$3 \cdot 2 \cdot 3 = 18.$$

Проверим, какие из них верны.

Приближённые значения:

$$\sqrt{2}\approx 1{,}4,\quad \sqrt{3}\approx 1{,}7,\quad \sqrt{5}\approx 2{,}3.$$

Для знака $$\ge$$ верными будут неравенства:

$$\sqrt{2}\ge 1{,}5,\ \sqrt{2}\ge 1{,}7,\ \sqrt{2}\ge 2{,}3,\ \sqrt{3}\ge 2{,}3.$$

Всего таких неравенств 4, значит, неверных со знаком $$\ge$$ будет:

$$9-4=5.$$

Но по условию требуется вероятность того, что случайно выбранное неравенство со знаком $$\ge$$ окажется неверным. Среди всех 18 неравенств знак $$\ge$$ встречается в 9 случаях, из них 4 верны и 5 неверны, поэтому

$$P=\frac{5}{18}.$$

Для знака $$\le$$ верными будут неравенства:

$$\sqrt{2}\le 1{,}5,\ \sqrt{3}\le 1{,}5,\ \sqrt{3}\le 1{,}7,\ \sqrt{5}\le 1{,}5,\ \sqrt{5}\le 1{,}7.$$

Таких неравенств 5, значит, вероятность того, что случайно выбранное неравенство со знаком $$\le$$ окажется верным, равна

$$P=\frac{5}{18}.$$