Дополнительная задача 4 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) f(1) = f(3) = 0, f(2) > 0; г) f(-1) = f(-5) = 1, f(1) < 0;
б) f(-1) = f(-5) = 0, f(-2) < 0; д) f(-1) = f(5) = 3, f(1) < 2;
в) f(-1) = f(-5) = 0, f(-6) > 0; е) f(1) < 1, f(5) = 5, f(4) > 7.
Счётная палата Российской Федерации планирует проверку федеральных округов: Центрального, Северо-Западного, Южного, Северо-Кавказского, Приволжского, Уральского, Сибирского, Дальневосточного1. Порядок проверки округов независимо определяется компьютерной программой учёта данных. Найдите вероятность того, что первым будут проверять:
а) Северо-Кавказский округ;
б) Центральный округ;
в) округ, в котором находится Ангарск;
г) округ, в котором течёт Волга;
д) округ, целиком расположенный восточнее Уральских гор;
е) округ, имеющий выход к морю, связанному с океаном.
а) $$f(1)=f(3)=0,$$ значит,
$$f(x)=a(x-1)(x-3).$$
Так как $$f(2)>0,$$ то
$$f(2)=a(2-1)(2-3)=-a>0,$$
откуда $$a<0.$$
Раскроем скобки:
$$f(x)=a(x^2-4x+3)=ax^2-4ax+3a.$$
Следовательно, $$b=-4a>0.$$
Ответ: $$a<0,\ b>0.$$
б) $$f(-1)=f(-5)=0,$$ значит,
$$f(x)=a(x+1)(x+5).$$
Так как $$f(-2)<0,$$ то
$$f(-2)=a(-2+1)(-2+5)=-3a<0,$$
откуда $$a>0.$$
Раскроем скобки:
$$f(x)=a(x^2+6x+5)=ax^2+6ax+5a.$$
Следовательно, $$b=6a>0.$$
Ответ: $$a>0,\ b>0.$$
в) $$f(-1)=f(-5)=0,$$ значит,
$$f(x)=a(x+1)(x+5).$$
Так как $$f(-6)>0,$$ то
$$f(-6)=a(-6+1)(-6+5)=5a>0,$$
откуда $$a>0.$$
Тогда
$$f(x)=ax^2+6ax+5a,$$
и потому $$b=6a>0.$$
Ответ: $$a>0,\ b>0.$$
г) $$f(-1)=f(-5)=1,$$ значит,
$$f(x)=a(x+1)(x+5)+1.$$
Так как $$f(1)<0,$$ то
$$f(1)=a(1+1)(1+5)+1=12a+1<0,$$
откуда $$a<-\frac{1}{12},$$ значит, $$a<0.$$
Раскроем скобки:
$$f(x)=a(x^2+6x+5)+1=ax^2+6ax+5a+1.$$
Следовательно, $$b=6a<0.$$
Ответ: $$a<0,\ b<0.$$
д) $$f(-1)=f(5)=3,$$ значит,
$$f(x)=a(x+1)(x-5)+3.$$
Так как $$f(1)<2,$$ то
$$f(1)=a(1+1)(1-5)+3=-8a+3<2,$$
откуда $$a>\frac{1}{8},$$ значит, $$a>0.$$
Раскроем скобки:
$$f(x)=a(x^2-4x-5)+3=ax^2-4ax-5a+3.$$
Следовательно, $$b=-4a<0.$$
Ответ: $$a>0,\ b<0.$$
е) Пусть
$$f(x)=a(x-5)(x-x_2)+5.$$
Из условий $$f(1)<1$$ и $$f(4)>7$$ получаем:
$$a(1-5)(1-x_2)+5<1,$$
$$a(4-5)(4-x_2)+5>7.$$
То есть
$$-4a(1-x_2)<-4,$$
$$-a(4-x_2)>2.$$
Так как из второго неравенства следует $$a<0,$$ то старший коэффициент отрицателен.
Кроме того,
$$f(x)=a(x-5)(x-x_2)+5=ax^2-a(x_2+5)x+5ax_2+5,$$
значит, $$b=-a(x_2+5).$$
При $$a<0$$ из условий следует $$x_2>1,$$ поэтому $$x_2+5>0,$$ а значит, $$b>0.$$
Ответ: $$a<0,\ b>0.$$
Ответ
а) $$a<0,\ b>0$$; б) $$a>0,\ b>0$$; в) $$a>0,\ b>0$$; г) $$a<0,\ b<0$$; д) $$a>0,\ b<0$$; е) $$a<0,\ b>0$$.
Ход решения
Всего федеральных округов $$8,$$ и все они равновозможны.
Вероятность того, что первым проверят любой конкретный округ, равна
$$\frac{1}{8}=0{,}125.$$
а) Северо-Кавказский округ: $$0{,}125.$$
б) Центральный округ: $$0{,}125.$$
в) Сибирский округ, где находится Ангарск: $$0{,}125.$$
Если округов несколько, благоприятных исходов столько, сколько таких округов.
г) Округов, в которых течёт Волга, три, значит
$$\frac{3}{8}=0{,}375.$$
д) Округов, целиком расположенных восточнее Уральских гор, два, значит
$$\frac{2}{8}=0{,}25.$$
е) Округов, имеющих выход к морю, связанному с океаном, четыре, значит
$$\frac{4}{8}=0{,}5.$$
Ответ
а) $$0{,}125$$; б) $$0{,}125$$; в) $$0{,}125$$; г) $$0{,}375$$; д) $$0{,}25$$; е) $$0{,}5$$.
