Дополнительная задача 4 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (0; 7); в) (-7; 0); д) (1; -1);
б) (7; 0); г) (2; 11); е) (-3; -3)?
Найдите знак старшего коэффициента и знак линейного коэффициента квадратичной функции у = f(x), если:
а) f(1) = f(3) = 0, f(2) > 0; г) f(-1) = f(-5) = 1, f(1) < 0; б) f(-1) = f(-5) = 0, f(-2) < 0; д) f(-1) = f(5) = 3, f(1) < 2; в) f(-1) = f(-5) = 0, f(-6) > 0; е) f(1) < 1, f(5) = 5, f(4) > 7.

1. Если парабола $$y=x^2$$ сдвигается вдоль оси $$Oy$$, то её уравнение принимает вид $$y=x^2+a$$.

   Подставим координаты заданной точки и найдём $$a$$:

   а) $$7=0^2+a \Rightarrow a=7$$ — сдвиг на 7 единиц вверх;
   б) $$0=7^2+a \Rightarrow a=-49$$ — сдвиг на 49 единиц вниз;
   в) $$0=(-7)^2+a \Rightarrow a=-49$$ — сдвиг на 49 единиц вниз;
   г) $$11=2^2+a \Rightarrow a=7$$ — сдвиг на 7 единиц вверх;
   д) $$-1=1^2+a \Rightarrow a=-2$$ — сдвиг на 2 единицы вниз;
   е) $$-3=(-3)^2+a \Rightarrow a=-12$$ — сдвиг на 12 единиц вниз.

2. Для квадратичной функции $$f(x)=ax^2+bx+c$$ знак старшего коэффициента $$a$$ определяем по направлению ветвей параболы, а знак коэффициента $$b$$ — по положению вершины и значениям функции.

   а) $$f(1)=f(3)=0,\ f(2)>0$$

   $$f(x)=a(x-1)(x-3)$$
   
   $$f(2)=a(2-1)(2-3)=-a>0 \Rightarrow a<0.$$
   
   Тогда
   $$f(x)=a(x^2-4x+3)=ax^2-4ax+3a,$$
   значит $$b=-4a>0$$.

   Ответ: $$a<0,\ b>0$$.

   б) $$f(-1)=f(-5)=0,\ f(-2)<0$$

   $$f(x)=a(x+1)(x+5)$$
   
   $$f(-2)=a(-1)\cdot 3=-3a<0 \Rightarrow a>0.$$
   
   Тогда
   $$f(x)=a(x^2+6x+5)=ax^2+6ax+5a,$$
   значит $$b=6a>0$$.

   Ответ: $$a>0,\ b>0$$.

   в) $$f(-1)=f(-5)=0,\ f(-6)>0$$

   $$f(x)=a(x+1)(x+5)$$
   
   $$f(-6)=a(-5)\cdot(-1)=5a>0 \Rightarrow a>0.$$
   
   Тогда $$b=6a>0$$.

   Ответ: $$a>0,\ b>0$$.

   г) $$f(-1)=f(-5)=1,\ f(1)<0$$

   $$f(x)=a(x+1)(x+5)+1$$
   
   $$f(1)=a\cdot 2\cdot 6+1=12a+1<0 \Rightarrow a<0.$$
   
   Тогда
   $$f(x)=a(x^2+6x+5)+1=ax^2+6ax+5a+1,$$
   значит $$b=6a<0$$.

   Ответ: $$a<0,\ b<0$$.

   д) $$f(-1)=f(5)=3,\ f(1)<2$$

   $$f(x)=a(x+1)(x-5)+3$$
   
   $$f(1)=a\cdot 2\cdot(-4)+3=-8a+3<2 \Rightarrow a>0.$$
   
   Тогда
   $$f(x)=a(x^2-4x-5)+3=ax^2-4ax-5a+3,$$
   значит $$b=-4a<0$$.

   Ответ: $$a>0,\ b<0$$.

   е) $$f(1)<1,\ f(5)=5,\ f(4)>7$$

   Пусть
   $$f(x)=a(x-5)(x-x_2)+5.$$
   Тогда из условий:
   $$f(1)=a(1-5)(1-x_2)+5<1,$$
   $$f(4)=a(4-5)(4-x_2)+5>7.$$
   Получаем:
   $$-4a(1-x_2)<-4 \Rightarrow a(1-x_2)>1,$$
   $$-a(4-x_2)>2 \Rightarrow a(4-x_2)<-2.$$
   Так как $$a(1-x_2)>1$$ и $$a(4-x_2)<-2$$, то $$a<0$$.
   
   Кроме того,
   $$f(x)=a(x-5)(x-x_2)+5=ax^2-a(x_2+5)x+5ax_2+5,$$
   значит $$b=-a(x_2+5)$$. При $$a<0$$ и $$x_2>1$$ имеем $$x_2+5>0$$, следовательно $$b>0$$.

   Ответ: $$a<0,\ b>0$$.

Ответ

1) а) вверх на 7; б) вниз на 49; в) вниз на 49; г) вверх на 7; д) вниз на 2; е) вниз на 12.
2) а) $$a<0,\ b>0$$; б) $$a>0,\ b>0$$; в) $$a>0,\ b>0$$; г) $$a<0,\ b<0$$; д) $$a>0,\ b<0$$; е) $$a<0,\ b>0$$.