Дополнительная задача 4 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Какова вероятность того, что эта прямая:
а) пересечёт ось ординат;
б) пересечёт ось ординат выше точки (0; 2);
в) пересечёт ось ординат ниже точки (0; 3);
г) не имеет общих точек с Ох;
д) пересечёт вторую координатную четверть;
е) пройдёт выше точки (1; 1)?
На сколько единиц масштаба вдоль оси Оу и в каком направлении надо сдвинуть параболу у = х^2 для того, чтобы новая парабола прошла через точку:
а) (0; 7); в) (-7; 0); д) (1; -1);
б) (7; 0); г) (2; 11); е) (-3; -3)?

Подробный ответ

Всего возможных исходов:
$$N=5\cdot 5=25.$$
а) Прямая всегда пересекает ось ординат в точке $$\left(0;b\right)$$, значит, вероятность равна $$1$$.
б) Выше точки $$\left(0;2\right)$$ прямая пересечёт ось ординат при $$b>2$$, то есть при $$b\in\{3,4,5\}$$.
Тогда
$$P=\frac{5\cdot 3}{25}=\frac{3}{5}=0{,}6.$$
в) Ниже точки $$\left(0;3\right)$$ прямая пересечёт ось ординат при $$b<3$$, то есть при $$b\in\{1,2\}$$.
Тогда
$$P=\frac{5\cdot 2}{25}=\frac{2}{5}=0{,}4.$$
г) Прямая не имеет общих точек с осью $$Ox$$ только при $$k=0$$.
Тогда $$k=0$$ и $$b\in\{1,2,3,4,5\}$$.
Следовательно,
$$P=\frac{1\cdot 5}{25}=\frac{1}{5}=0{,}2.$$
д) Прямая пересечёт вторую координатную четверть во всех случаях, так как она пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;b\right)$$ выше начала координат.
Значит, вероятность равна $$1$$.
е) Прямая пройдёт выше точки $$\left(1;1\right)$$, если
$$k\cdot 1+b>1,$$
то есть $$k+b>1$$.
Подсчитаем подходящие пары:
при $$k=-2$$: $$b\in\{4,5\}$$ — 2 случая;
при $$k=-1$$: $$b\in\{3,4,5\}$$ — 3 случая;
при $$k=0$$: $$b\in\{2,3,4,5\}$$ — 4 случая;
при $$k=1$$: $$b\in\{1,2,3,4,5\}$$ — 5 случаев;
при $$k=2$$: $$b\in\{1,2,3,4,5\}$$ — 5 случаев.
Всего:
$$2+3+4+5+5=19.$$
Тогда
$$P=\frac{19}{25}=0{,}76.$$
Парабола $$y=x^2$$ после сдвига вдоль оси $$Oy$$ имеет вид $$y=x^2+a$$.
а) Через точку $$\left(0;7\right)$$:
$$7=0^2+a,\quad a=7.$$
Нужно сдвинуть на 7 единиц вверх.
б) Через точку $$\left(7;0\right)$$:
$$0=7^2+a,\quad 0=49+a,\quad a=-49.$$
Нужно сдвинуть на 49 единиц вниз.
в) Через точку $$\left(-7;0\right)$$:
$$0=(-7)^2+a,\quad 0=49+a,\quad a=-49.$$
Нужно сдвинуть на 49 единиц вниз.
г) Через точку $$\left(2;11\right)$$:
$$11=2^2+a,\quad 11=4+a,\quad a=7.$$
Нужно сдвинуть на 7 единиц вверх.
д) Через точку $$\left(1;-1\right)$$:
$$-1=1^2+a,\quad -1=1+a,\quad a=-2.$$
Нужно сдвинуть на 2 единицы вниз.
е) Через точку $$\left(-3;-3\right)$$:
$$-3=(-3)^2+a,\quad -3=9+a,\quad a=-12.$$
Нужно сдвинуть на 12 единиц вниз.