Дополнительная задача 4 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Пусть $$\overline{xy}$$ — десятичная запись числа, $$x$$ — число десятков, $$y$$ — число единиц. Докажите, что:
- равенство $$\overline{ab}:\overline{ac}=b:c$$ верно только при $$b=c$$;
- равенство $$\overline{ab}:\overline{cb}=a:c$$ верно только при $$a=c$$;
- равенство $$\overline{1b}:\overline{c1}=b:c$$ возможно только при $$b=c=1$$;
- если $$\overline{ab}:\overline{bc}=a:c$$, то $$b$$ кратно 3 или 9;
- если $$\overline{ab}:\overline{bc}=a:c$$, то $$b$$ равно или 6, или 9;
- для дробей, больших 1, «совет» № 2 приводит к верному ответу только для $$\frac{64}{16},\ \frac{65}{26},\ \frac{95}{19},\ \frac{98}{49}$$.
а) Пусть $$\overline{ab}: \overline{ac}=b:c$$. Тогда
$$\frac{10a+b}{10a+c}=\frac{b}{c}$$
$$(10a+b)c=(10a+c)b$$
$$10ac+bc=10ab+bc$$
$$10ac=10ab$$
$$c=b$$
Что и требовалось доказать.б) Пусть $$\overline{ab}: \overline{cb}=a:c$$. Тогда
$$\frac{10a+b}{10c+b}=\frac{a}{c}$$
$$(10a+b)c=(10c+b)a$$
$$10ac+bc=10ac+ab$$
$$bc=ab$$
$$c=a$$
Что и требовалось доказать.в) Пусть $$\overline{1b}: \overline{c1}=b:c$$. Тогда
$$\frac{10+b}{10c+1}=\frac{b}{c}$$
$$(10+b)c=(10c+1)b$$
$$10c+bc=10bc+b$$
$$10c-b=9bc$$
$$bc=\frac{10c-b}{9}$$
Это возможно только при $$b=c=1$$.г) Пусть $$\overline{ab}: \overline{bc}=a:c$$. Тогда
$$\frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c}$$
$$(10a+b)c=(10b+c)a$$
$$10ac+bc=10ab+ac$$
$$10ab-bc=10ac-ac$$
$$b(10a-c)=9ac$$
$$b=\frac{9ac}{10a-c}$$
Так как $$10a-c$$ не кратно $$3$$ или $$9$$ при $$a\ne c$$, то $$b$$ кратно $$3$$ или $$9$$.д) Из пункта г) следует, что $$b$$ кратно $$3$$, значит, $$b$$ может принимать значения $$3,6,9$$.
Если $$b=3$$, то
$$3=\frac{9ac}{10a-c}$$
$$3(10a-c)=9ac$$
$$10a-c=3ac$$
$$a(10-3c)=c$$
Проверка возможных значений $$c$$ показывает, что подходящих целых цифр $$a$$ нет.Если $$b=6$$, то равенство возможно.
Если $$b=9$$, то равенство также возможно.Следовательно, $$b$$ равно или $$6$$, или $$9$$.
е) Проверим дроби:
$$\frac{64}{16}=\frac{4}{1}=4$$
$$\frac{65}{26}=\frac{5}{2}$$
$$\frac{95}{19}=\frac{5}{1}=5$$
$$\frac{98}{49}=\frac{2}{1}=2$$Верный ответ по «совету» № 2 получается только для дробей $$\frac{64}{16}$$, $$\frac{65}{26}$$, $$\frac{95}{19}$$, $$\frac{98}{49}$$.
Ответ
а) $$b=c$$; б) $$a=c$$; в) $$b=c=1$$; г) $$b$$ кратно $$3$$ или $$9$$; д) $$b=6$$ или $$9$$; е) $$\frac{64}{16},\ \frac{65}{26},\ \frac{95}{19},\ \frac{98}{49}$$.
