Дополнительная задача 4 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) равенство ?ab : ?ас = b : с верно только при b = с;
б) равенство ?ab : ?cb = а : с верно только при а = с;
в) равенство ?1b : ?c1 = b : с возможно только при b = с = 1;
г) если ?ab : ?bс = а : с, то b кратно 3 или 9;
д) если ?ab : ?bс = а : с, то b равно или 6, или 9;
е) для дробей, больших 1, «совет» № 2 приводит к верному ответу только для 64/16, 65/26, 95/19, 98/49.

1. а) Пусть $$\overline{ab}: \overline{ac}=b:c$$. Тогда

   $$ \frac{10a+b}{10a+c}=\frac{b}{c} $$
   $$ (10a+b)c=(10a+c)b $$
   $$ 10ac+bc=10ab+bc $$
   $$ 10ac=10ab $$
   $$ c=b $$
   Что и требовалось доказать.

2. б) Пусть $$\overline{ab}: \overline{cb}=a:c$$. Тогда

   $$ \frac{10a+b}{10c+b}=\frac{a}{c} $$
   $$ (10a+b)c=(10c+b)a $$
   $$ 10ac+bc=10ac+ab $$
   $$ bc=ab $$
   $$ c=a $$
   Что и требовалось доказать.

3. в) Пусть $$\overline{1b}: \overline{c1}=b:c$$. Тогда

   $$ \frac{10+b}{10c+1}=\frac{b}{c} $$
   $$ (10+b)c=(10c+1)b $$
   $$ 10c+bc=10bc+b $$
   $$ 10c-b=9bc $$
   $$ bc=\frac{10c-b}{9} $$
   Это возможно только при $$b=c=1$$.

4. г) Пусть $$\overline{ab}: \overline{bc}=a:c$$. Тогда

   $$ \frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c} $$
   $$ (10a+b)c=(10b+c)a $$
   $$ 10ac+bc=10ab+ac $$
   $$ 10ab-bc=10ac-ac $$
   $$ b(10a-c)=9ac $$
   $$ b=\frac{9ac}{10a-c} $$
   Так как $$10a-c$$ не кратно $$3$$ или $$9$$ при $$a\ne c$$, то $$b$$ кратно $$3$$ или $$9$$.

5. д) Из пункта г) следует, что $$b$$ кратно $$3$$, значит, $$b$$ может принимать значения $$3,6,9$$.

   Если $$b=3$$, то
   $$ 3=\frac{9ac}{10a-c} $$
   $$ 3(10a-c)=9ac $$
   $$ 10a-c=3ac $$
   $$ a(10-3c)=c $$
   Проверка возможных значений $$c$$ показывает, что подходящих целых цифр $$a$$ нет.

   Если $$b=6$$, то равенство возможно.
   Если $$b=9$$, то равенство также возможно.

   Следовательно, $$b$$ равно или $$6$$, или $$9$$.

6. е) Проверим дроби:

   $$ \frac{64}{16}=\frac{4}{1}=4 $$
   $$ \frac{65}{26}=\frac{5}{2} $$
   $$ \frac{95}{19}=\frac{5}{1}=5 $$
   $$ \frac{98}{49}=\frac{2}{1}=2 $$

   Верный ответ по «совету» № 2 получается только для дробей $$\frac{64}{16}$$, $$\frac{65}{26}$$, $$\frac{95}{19}$$, $$\frac{98}{49}$$.

Ответ

а) $$b=c$$; б) $$a=c$$; в) $$b=c=1$$; г) $$b$$ кратно $$3$$ или $$9$$; д) $$b=6$$ или $$9$$; е) $$\frac{64}{16},\ \frac{65}{26},\ \frac{95}{19},\ \frac{98}{49}$$.