Упр.4.55 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2z^2+5z}-\frac{2}{25-10z}-\frac{4}{4z^2-25} = \frac{1}{z(2z+5)}+\frac{2}{5(2z-5)}-\frac{4}{(2z-5)(2z+5)}.$$

Общий знаменатель:

$$5z(2z-5)(2z+5).$$

Тогда

$$\frac{1}{z(2z+5)}+\frac{2}{5(2z-5)}-\frac{4}{(2z-5)(2z+5)} = \frac{5(2z-5)+2z(2z+5)-4\cdot 5z}{5z(2z-5)(2z+5)}.$$

Упростим числитель:

$$5(2z-5)+2z(2z+5)-4\cdot 5z = 10z-25+4z^2+10z-20z = 4z^2-25.$$

Получаем:

$$\frac{4z^2-25}{5z(2z-5)(2z+5)}=\frac{1}{5z}.$$

Так как

$$4z^2-25=(2z-5)(2z+5),$$

то

$$\frac{4z^2-25}{5z(2z-5)(2z+5)}=\frac{1}{5z}.$$

Следовательно, равенство верно при всех допустимых значениях переменной:

$$z\ne 0,\quad z\ne \frac{5}{2},\quad z\ne -\frac{5}{2}.$$

Ответ

$$\frac{1}{5z}=\frac{1}{5z}\text{ — верно, } z\ne 0,\ \pm\frac{5}{2}.$$