Упр.4.54 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Преобразуем левую часть:

$$\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2}-\frac{x-2y}{x^2-y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)}$$
$$=\frac{x+2y}{(x+y)^2}-\frac{x-2y}{(x-y)(x+y)}+\frac{2y^2}{(x+y)(x-y)(x+y)}$$

Приведём к общему знаменателю $$(x+y)^2(x-y)$$:

$$\frac{(x+2y)(x-y)-(x-2y)(x+y)+2y^2}{(x+y)^2(x-y)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x+2y)(x-y)=x^2+xy-2y^2$$
$$(x-2y)(x+y)=x^2-xy-2y^2$$

Тогда

$$x^2+xy-2y^2-\bigl(x^2-xy-2y^2\bigr)+2y^2=2xy+2y^2=2y(x+y)$$

Получаем:

$$\frac{2y(x+y)}{(x+y)^2(x-y)}=\frac{2y}{(x+y)(x-y)}=\frac{2y}{x^2-y^2}$$

Следовательно, равенство верно.

Ответ

$$\frac{x+2y}{x^2+2xy+y^2}-\frac{x-2y}{x^2-y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2-y^2)}=\frac{2y}{x^2-y^2}$$