Упр.4.53 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{3a(16-3a)}{9a^2-4}+\frac{3(1+2a)}{2-3a}-\frac{2-9a}{3a+2}=\frac1{3a+2}$$

Так как

$$9a^2-4=(3a-2)(3a+2), \qquad 2-3a=-(3a-2),$$

то

$$\frac{48a-9a^2}{(3a-2)(3a+2)}-\frac{3+6a}{3a-2}-\frac{2-9a}{3a+2}=\frac1{3a+2}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{48a-9a^2-(3+6a)(3a+2)-(2-9a)(3a-2)}{(3a-2)(3a+2)}=\frac1{3a+2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$48a-9a^2-(9a+6+18a^2+12a)-(6a-4-27a^2+18a)$$

$$=48a-9a^2-9a-6-18a^2-12a-6a+4+27a^2-18a=3a-2.$$

Тогда получаем:

$$\frac{3a-2}{(3a-2)(3a+2)}=\frac1{3a+2}.$$

Сократим дробь:

$$\frac1{3a+2}=\frac1{3a+2}.$$

Равенство верно при всех значениях $$a$$, при которых выражение имеет смысл. ОДЗ:

$$3a-2\ne 0,\qquad 3a+2\ne 0.$$

$$a\ne \frac23,\qquad a\ne -\frac23.$$

Ответ

$$a\in \mathbb{R},\ a\ne \pm \frac23.$$