Упр.4.51 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

4.51

Подробный ответ

а)

$$ \frac{2mn}{m^3+n^3}+\frac{2m}{m^2-n^2}-\frac{1}{m-n} $$

Разложим знаменатели на множители:
$$ m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2), \qquad m^2-n^2=(m-n)(m+n). $$
Тогда
$$ \frac{2mn}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}+\frac{2m}{(m-n)(m+n)}-\frac{1}{m-n}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2mn(m-n)+2m(m^2-mn+n^2)-\bigl(m^3+n^3\bigr)}{(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)}. $$
Упростим числитель:
$$ 2mn(m-n)+2m(m^2-mn+n^2)-m^3-n^3 $$
$$ =2m^2n-2mn^2+2m^3-2m^2n+2mn^2-m^3-n^3 $$
$$ =m^3-n^3. $$
Тогда
$$ \frac{m^3-n^3}{(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)}. $$
Так как
$$ m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2), $$
получаем
$$ \frac{m^2+mn+n^2}{m^3+n^3}. $$

б)

$$ \frac{2xy}{x^3-y^3}-\frac{2x}{x^2-y^2}+\frac{1}{x+y} $$

Разложим знаменатели:
$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \qquad x^2-y^2=(x-y)(x+y). $$
Тогда
$$ \frac{2xy}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}-\frac{2x}{(x-y)(x+y)}+\frac{1}{x+y}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2xy(x+y)-2x(x^2+xy+y^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)}. $$
Раскроем скобки в числителе:
$$ 2x^2y+2xy^2-2x^3-2x^2y-2xy^2+x^3-y^3 $$
$$ =-x^3-y^3. $$
Значит,
$$ \frac{-(x^3+y^3)}{(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)}. $$
Так как
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2), $$
то
$$ -\frac{x^2-xy+y^2}{x^3-y^3} = \frac{x^2-xy+y^2}{y^3-x^3}. $$