Упр.39.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) x^6 — 7x^3 — 8 = 0; в) x^6 + 7x^3 — 8 = 0;
б) x^6 — 9x^3 + 8 = 0; г) x^6 + 9x^3 + 8 = 0. Упростите выражение:
а) (x^2 + x — 6)/(3x^2 + 7x — 6);
б) (x^2 — x — 2)/(x^4 — 3x^2 — 4);
в) (x + 4vx — 12)/(x + 3vx — 10);
г) (x^2 — 11x + 24)/(x^2 + 4x — 21);
д) (x^4 + 3x^2 — 4)/(x^3 — x);
е) (x — 2vx — 15)/(2x — 11vx + 5).

Подробный ответ

а) Пусть $$x^3=y$$. Тогда
$$ y^2-7y-8=0 $$
$$ D=49+32=81 $$
$$ y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2} $$
$$ y_1=-1,\quad y_2=8 $$
Значит,
$$ x^3=-1 \Rightarrow x=-1,\qquad x^3=8 \Rightarrow x=2 $$
б) Пусть $$x^3=y$$. Тогда
$$ y^2-9y+8=0 $$
$$ D=81-32=49 $$
$$ y_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2} $$
$$ y_1=1,\quad y_2=8 $$
Следовательно,
$$ x^3=1 \Rightarrow x=1,\qquad x^3=8 \Rightarrow x=2 $$
в) Пусть $$x^3=y$$. Тогда
$$ y^2+7y-8=0 $$
$$ D=49+32=81 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2} $$
$$ y_1=-8,\quad y_2=1 $$
Значит,
$$ x^3=-8 \Rightarrow x=-2,\qquad x^3=1 \Rightarrow x=1 $$
г) Пусть $$x^3=y$$. Тогда
$$ y^2+9y+8=0 $$
$$ D=81-32=49 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{2} $$
$$ y_1=-8,\quad y_2=-1 $$
Следовательно,
$$ x^3=-8 \Rightarrow x=-2,\qquad x^3=-1 \Rightarrow x=-1 $$
а)
$$ \frac{x^2+x-6}{3x^2+7x-6} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(3x-2)} = \frac{x-2}{3x-2} $$
ОДЗ: $$x\neq -3,\; x\neq \frac23$$.
б)
$$ \frac{x^2-x-2}{x^4-3x^2-4} = \frac{(x+1)(x-2)}{(x^2+1)(x^2-4)} = \frac{(x+1)(x-2)}{(x^2+1)(x-2)(x+2)} = \frac{x+1}{(x^2+1)(x+2)} $$
ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq -2$$.
в)
$$ \frac{x+4\sqrt{x}-12}{x+3\sqrt{x}-10} = \frac{(\sqrt{x}+6)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-2)} = \frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+5} $$
ОДЗ: $$x\ge 0,\; x\neq 4,\; x\neq 25$$.
г)
$$ \frac{x^2-11x+24}{x^2+4x-21} = \frac{(x-3)(x-8)}{(x+7)(x-3)} = \frac{x-8}{x+7} $$
ОДЗ: $$x\neq 3,\; x\neq -7$$.
д)
$$ \frac{x^4+3x^2-4}{x^3-x} = \frac{(x^2-1)(x^2+4)}{x(x^2-1)} = \frac{x^2+4}{x} $$
ОДЗ: $$x\neq -1,\; x\neq 0,\; x\neq 1$$.
е)
$$ \frac{x-2\sqrt{x}-15}{2x-11\sqrt{x}+5} = \frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-5)}{(2\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-5)} = \frac{\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}-1} $$
ОДЗ: $$x\ge 0,\; x\neq \frac14,\; x\neq 25$$.