Упр.39.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) 3/(x^3 — x^2 + 6x — 6) + 1/(x^3 + x^2 + 6x + 6) = 1/(x^2 — 1);
б) (x + 1)/(x^3 — 3x^2 + x — 3) + 1/(x^4 — 1) = (x — 2)/(x^3 — 3x^2 — x + 3);
в) 1/(x^3 — 3x^2 + 2x — 6) — 3/(x^3 + 3x^2 + 2x + 6) = 1/(x^2 — 9);
г) 25/(4x^2 + 1) — (8x + 29)/(16x^4 — 1) = (18x + 5)/(8x^3 + 4x^2 + 2x + 1). Упростите выражение:
а) (x^2 + 7x + 12)/(x + 3);
б) (2x^2 — 7x + 3)/(x^2 — 3x);
в) (2x^2 + 11x + 9)/(x^2 — 1);
г) (x^2 + 5x + 6)/(x + 2);
д) (3x^2 + 7x + 2)/(x^2 + 2x);
е) (9x^2 — 1)/(6x^2 + 13x — 5).

1. а)

   $$\frac{3}{x^3-x^2+6x-6}+\frac{1}{x^3+x^2+6x+6}=\frac{1}{x^2-1}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$x^3-x^2+6x-6=(x-1)(x^2+6), \quad x^3+x^2+6x+6=(x+1)(x^2+6).$$

   Тогда
   $$ \frac{3}{(x-1)(x^2+6)}+\frac{1}{(x+1)(x^2+6)}-\frac{1}{(x-1)(x+1)}=0. $$
   Умножим на $$ (x-1)(x+1)(x^2+6) $$:
   $$ 3(x+1)+(x-1)-(x^2+6)=0. $$
   $$ -x^2+4x-4=0, $$
   $$ x^2-4x+4=0, $$
   $$ (x-2)^2=0. $$
   Отсюда $$x=2$$. Проверка ОДЗ: $$x\neq \pm 1$$, значит корень подходит.

2. б)

   $$\frac{x+1}{x^3-3x^2+x-3}+\frac{1}{x^4-1}=\frac{x-2}{x^3-3x^2-x+3}$$

   Разложим знаменатели:
   $$x^3-3x^2+x-3=(x-3)(x^2+1),$$
   $$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1),$$
   $$x^3-3x^2-x+3=(x-3)(x^2-1).$$

   Тогда
   $$ \frac{x+1}{(x-3)(x^2+1)}+\frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)}-\frac{x-2}{(x-3)(x^2-1)}=0. $$
   Умножим на $$ (x-3)(x^2-1)(x^2+1) $$:
   $$ (x+1)(x^2-1)+(x-3)-(x-2)(x^2+1)=0. $$
   $$ x^3+x^2-x-1+x-3-x^3+x^2+2x-2=0, $$
   $$ 3x^2-x-2=0. $$
   $$ D=1+24=25, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}. $$
   Получаем $$x_1=-\frac{2}{3}, \; x_2=1$$.
   По ОДЗ: $$x\neq \pm 1,\; x\neq 3$$, значит подходит только $$x=-\frac{2}{3}$$.

3. в)

   $$\frac{1}{x^3-3x^2+2x-6}-\frac{3}{x^3+3x^2+2x+6}=\frac{1}{x^2-9}$$

   Разложим знаменатели:
   $$x^3-3x^2+2x-6=(x-3)(x^2+2),$$
   $$x^3+3x^2+2x+6=(x+3)(x^2+2),$$
   $$x^2-9=(x-3)(x+3).$$

   Тогда
   $$ \frac{1}{(x-3)(x^2+2)}-\frac{3}{(x+3)(x^2+2)}-\frac{1}{(x-3)(x+3)}=0. $$
   Умножим на $$ (x-3)(x+3)(x^2+2) $$:
   $$ (x+3)-3(x-3)-(x^2+2)=0. $$
   $$ -x^2-2x+10=0, $$
   $$ x^2+2x-10=0. $$
   $$ D=4+40=44, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{44}}{2}=-1\pm \sqrt{11}. $$
   ОДЗ: $$x\neq \pm 3$$, оба корня подходят.

4. г)

   $$\frac{25}{4x^2+1}-\frac{8x+29}{16x^4-1}=\frac{18x+5}{8x^3+4x^2+2x+1}$$

   Разложим знаменатели:
   $$16x^4-1=(4x^2-1)(4x^2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1),$$
   $$8x^3+4x^2+2x+1=(2x+1)(4x^2+1).$$

   Тогда
   $$ \frac{25}{4x^2+1}-\frac{8x+29}{(2x-1)(2x+1)(4x^2+1)}-\frac{18x+5}{(2x+1)(4x^2+1)}=0. $$
   Умножим на $$ (2x-1)(2x+1)(4x^2+1) $$:
   $$ 25(2x-1)-(8x+29)-(18x+5)(2x-1)=0. $$
   $$ 50x-25-8x-29-(36x^2-8x-5)=0, $$
   $$ 64x^2-49=0. $$
   $$ x^2=\frac{49}{64}, $$
   $$ x=\pm \frac{7}{8}. $$
   ОДЗ: $$x\neq \pm \frac12$$, оба корня подходят.

5. Упростите выражение

   а) $$\frac{x^2+7x+12}{x+3}=\frac{(x+4)(x+3)}{x+3}=x+4,\quad x\neq -3.$$

   б) $$\frac{2x^2-7x+3}{x^2-3x}=\frac{(2x-1)(x-3)}{x(x-3)}=\frac{2x-1}{x},\quad x\neq 0,\; x\neq 3.$$

   в) $$\frac{2x^2+11x+9}{x^2-1}=\frac{(2x+9)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+9}{x-1},\quad x\neq \pm 1.$$

   г) $$\frac{x^2+5x+6}{x+2}=\frac{(x+3)(x+2)}{x+2}=x+3,\quad x\neq -2.$$

   д) $$\frac{3x^2+7x+2}{x^2+2x}=\frac{(x+2)(3x+1)}{x(x+2)}=\frac{3x+1}{x},\quad x\neq 0,\; x\neq -2.$$

   е) $$\frac{9x^2-1}{6x^2+13x-5}=\frac{(3x-1)(3x+1)}{(2x+5)(3x-1)}=\frac{3x+1}{2x+5},\quad x\neq -\frac52,\; x\neq \frac13.$$

Ответ

а) $$x=2$$;
б) $$x=-\frac{2}{3}$$;
в) $$x=-1\pm \sqrt{11}$$;
г) $$x=\pm \frac{7}{8}$$.

Упростите выражение:
а) $$x+4$$;
б) $$\frac{2x-1}{x}$$;
в) $$\frac{2x+9}{x-1}$$;
г) $$x+3$$;
д) $$\frac{3x+1}{x}$$;
е) $$\frac{3x+1}{2x+5}$$.