Упр.39.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) 8/(16x^2 — 9) — 8/(16x^2 — 24x + 9) = 1/(4x^2 + 3x);
б) (x + 3)/(4x^2 — 9) — (3 — x)/(4x^2 + 12x + 9) = 2/(2x + 3);
в) 18/(4x^2 + 4x + 1) — 1/(2x — 1) = 3/(4x^2 — 1);
г) (2x + 1)/(2x^2 — x) — (2x — 1)/(2x^2 + 1) = 8x/(4x^2 — 1). Решите уравнение:
а) x^2/(x^2 — 7x + 10) + 16/(3x^2 — 12) = 1;
б) 2x^2/(2x^2 + x — 3) — 8/(2x^2 — 3x — 9) = 1.

Подробный ответ

а)
$$ \frac{8}{16x^2-9}-\frac{8}{16x^2-24x+9}=\frac{1}{4x^2+3x} $$
Разложим знаменатели на множители:
$$ 16x^2-9=(4x-3)(4x+3), \quad 16x^2-24x+9=(4x-3)^2, \quad 4x^2+3x=x(4x+3) $$
Тогда
$$ \frac{8}{(4x-3)(4x+3)}-\frac{8}{(4x-3)^2}=\frac{1}{x(4x+3)} $$
Умножим на $$x(4x-3)^2(4x+3)$$:
$$ 8x(4x-3)-8x(4x+3)=(4x-3)^2 $$
$$ 8x\bigl((4x-3)-(4x+3)\bigr)=16x^2-24x+9 $$
$$ -48x=16x^2-24x+9 $$
$$ 16x^2+24x+9=0 $$
$$ (4x+3)^2=0 $$
$$ x=-\frac34 $$
Но $$x=-\frac34$$ не входит в область допустимых значений, так как обращает в нуль знаменатель $$16x^2-9$$. Следовательно, решений нет.
б)
$$ \frac{x+3}{4x^2-9}-\frac{3-x}{4x^2+12x+9}=\frac{2}{2x+3} $$
Преобразуем:
$$ 4x^2-9=(2x-3)(2x+3), \quad 4x^2+12x+9=(2x+3)^2, \quad 3-x=-(x-3) $$
Тогда
$$ \frac{x+3}{(2x-3)(2x+3)}+\frac{x-3}{(2x+3)^2}=\frac{2}{2x+3} $$
Умножим на $$ (2x-3)(2x+3)^2 $$:
$$ (x+3)(2x+3)+(x-3)(2x-3)=2(2x+3)(2x-3) $$
$$ 2x^2+9x+9+2x^2-9x+9=8x^2-18 $$
$$ 4x^2+18=8x^2-18 $$
$$ 4x^2-36=0 $$
$$ x^2=9 $$
$$ x=\pm 3 $$
Оба корня подходят по ОДЗ.
в)
$$ \frac{18}{4x^2+4x+1}-\frac{1}{2x-1}=\frac{3}{4x^2-1} $$
Заметим, что
$$ 4x^2+4x+1=(2x+1)^2,\quad 4x^2-1=(2x+1)(2x-1) $$
Тогда
$$ \frac{18}{(2x+1)^2}-\frac{1}{2x-1}=\frac{3}{(2x+1)(2x-1)} $$
Умножим на $$ (2x+1)^2(2x-1) $$:
$$ 18(2x-1)-(2x+1)^2=3(2x+1) $$
$$ 36x-18-(4x^2+4x+1)=6x+3 $$
$$ 4x^2-26x+22=0 $$
$$ 2x^2-13x+11=0 $$
$$ D=13^2-4\cdot 2\cdot 11=81 $$
$$ x_1=\frac{13-9}{4}=1,\quad x_2=\frac{13+9}{4}=\frac{11}{2} $$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
г)
$$ \frac{2x+1}{2x^2-x}-\frac{2x-1}{2x^2+1}=\frac{8x}{4x^2-1} $$
Разложим знаменатели:
$$ 2x^2-x=x(2x-1), \quad 4x^2-1=(2x-1)(2x+1) $$
Умножим уравнение на $$x(2x-1)(2x+1)(2x^2+1)$$ и после преобразований получим:
$$ (4x^2+1)(4x^2-3x-1)=0 $$
Отсюда
$$ 4x^2-3x-1=0 $$
$$ D=25,\quad x_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\quad x_2=\frac{3+5}{8}=1 $$
Оба значения входят в ОДЗ.
а)
$$ \frac{x^2}{x^2-7x+10}+\frac{16}{3x^2-12}=1 $$
Разложим знаменатели:
$$ x^2-7x+10=(x-2)(x-5), \quad 3x^2-12=3(x-2)(x+2) $$
ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq 5,\; x\neq -2$$.
Умножим на $$3(x-2)(x+2)(x-5)$$:
$$ 3x^2(x+2)+16(x-5)=3(x-2)(x+2)(x-5) $$
После раскрытия скобок:
$$ 3x^3+6x^2+16x-80=3x^3-15x^2-12x+60 $$
$$ 21x^2+28x-140=0 $$
$$ 3x^2+4x-20=0 $$
$$ D=256 $$
$$ x_1=\frac{-4-16}{6}=-\frac{10}{3},\quad x_2=\frac{-4+16}{6}=2 $$
Число $$2$$ не подходит по ОДЗ. Значит, решение одно.
б)
$$ \frac{2x^2}{2x^2+x-3}-\frac{8}{2x^2-3x-9}=1 $$
Разложим знаменатели:
$$ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1), \quad 2x^2-3x-9=(2x+3)(x-3) $$
ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq 3,\; x\neq -\frac32$$.
Умножим на $$ (2x+3)(x-1)(x-3) $$:
$$ 2x^2(x-3)-8(x-1)=(2x+3)(x-1)(x-3) $$
После раскрытия скобок:
$$ 2x^3-6x^2-8x+8=2x^3-5x^2-6x+9 $$
$$ -x^2-2x-1=0 $$
$$ x^2+2x+1=0 $$
$$ (x+1)^2=0 $$
$$ x=-1 $$
Это значение удовлетворяет ОДЗ.