Упр.39.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. а)

   $$\frac{8}{16x^2-9}-\frac{8}{16x^2-24x+9}=\frac{1}{4x^2+3x}$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$16x^2-9=(4x-3)(4x+3), \quad 16x^2-24x+9=(4x-3)^2, \quad 4x^2+3x=x(4x+3)$$

   Тогда

   $$\frac{8}{(4x-3)(4x+3)}-\frac{8}{(4x-3)^2}=\frac{1}{x(4x+3)}$$

   Умножим на $$x(4x-3)^2(4x+3)$$:

   $$8x(4x-3)-8x(4x+3)=(4x-3)^2$$

   $$8x\bigl((4x-3)-(4x+3)\bigr)=16x^2-24x+9$$

   $$-48x=16x^2-24x+9$$

   $$16x^2+24x+9=0$$

   $$(4x+3)^2=0$$

   $$x=-\frac34$$

   Но $$x=-\frac34$$ не входит в область допустимых значений, так как обращает в нуль знаменатель $$16x^2-9$$. Следовательно, решений нет.

2. б)

   $$\frac{x+3}{4x^2-9}-\frac{3-x}{4x^2+12x+9}=\frac{2}{2x+3}$$

   Преобразуем:

   $$4x^2-9=(2x-3)(2x+3), \quad 4x^2+12x+9=(2x+3)^2, \quad 3-x=-(x-3)$$

   Тогда

   $$\frac{x+3}{(2x-3)(2x+3)}+\frac{x-3}{(2x+3)^2}=\frac{2}{2x+3}$$

   Умножим на $$(2x-3)(2x+3)^2$$:

   $$(x+3)(2x+3)+(x-3)(2x-3)=2(2x+3)(2x-3)$$

   $$2x^2+9x+9+2x^2-9x+9=8x^2-18$$

   $$4x^2+18=8x^2-18$$

   $$4x^2-36=0$$

   $$x^2=9$$

   $$x=\pm 3$$

   Оба корня подходят по ОДЗ.

3. в)

   $$\frac{18}{4x^2+4x+1}-\frac{1}{2x-1}=\frac{3}{4x^2-1}$$

   Заметим, что

   $$4x^2+4x+1=(2x+1)^2,\quad 4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$$

   Тогда

   $$\frac{18}{(2x+1)^2}-\frac{1}{2x-1}=\frac{3}{(2x+1)(2x-1)}$$

   Умножим на $$(2x+1)^2(2x-1)$$:

   $$18(2x-1)-(2x+1)^2=3(2x+1)$$

   $$36x-18-(4x^2+4x+1)=6x+3$$

   $$4x^2-26x+22=0$$

   $$2x^2-13x+11=0$$

   $$D=13^2-4\cdot 2\cdot 11=81$$

   $$x_1=\frac{13-9}{4}=1,\quad x_2=\frac{13+9}{4}=\frac{11}{2}$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

4. г)

   $$\frac{2x+1}{2x^2-x}-\frac{2x-1}{2x^2+1}=\frac{8x}{4x^2-1}$$

   Разложим знаменатели:

   $$2x^2-x=x(2x-1), \quad 4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$

   Умножим уравнение на $$x(2x-1)(2x+1)(2x^2+1)$$ и после преобразований получим:

   $$(4x^2+1)(4x^2-3x-1)=0$$

   Отсюда

   $$4x^2-3x-1=0$$

   $$D=25,\quad x_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14,\quad x_2=\frac{3+5}{8}=1$$

   Оба значения входят в ОДЗ.

5. а)

   $$\frac{x^2}{x^2-7x+10}+\frac{16}{3x^2-12}=1$$

   Разложим знаменатели:

   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5), \quad 3x^2-12=3(x-2)(x+2)$$

   ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq 5,\; x\neq -2$$.

   Умножим на $$3(x-2)(x+2)(x-5)$$:

   $$3x^2(x+2)+16(x-5)=3(x-2)(x+2)(x-5)$$

   После раскрытия скобок:

   $$3x^3+6x^2+16x-80=3x^3-15x^2-12x+60$$

   $$21x^2+28x-140=0$$

   $$3x^2+4x-20=0$$

   $$D=256$$

   $$x_1=\frac{-4-16}{6}=-\frac{10}{3},\quad x_2=\frac{-4+16}{6}=2$$

   Число $$2$$ не подходит по ОДЗ. Значит, решение одно.

6. б)

   $$\frac{2x^2}{2x^2+x-3}-\frac{8}{2x^2-3x-9}=1$$

   Разложим знаменатели:

   $$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1), \quad 2x^2-3x-9=(2x+3)(x-3)$$

   ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq 3,\; x\neq -\frac32$$.

   Умножим на $$(2x+3)(x-1)(x-3)$$:

   $$2x^2(x-3)-8(x-1)=(2x+3)(x-1)(x-3)$$

   После раскрытия скобок:

   $$2x^3-6x^2-8x+8=2x^3-5x^2-6x+9$$

   $$-x^2-2x-1=0$$

   $$x^2+2x+1=0$$

   $$(x+1)^2=0$$

   $$x=-1$$

   Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$-3,\ 3$$; в) $$1,\ \frac{11}{2}$$; г) $$-\frac14,\ 1$$; а) $$-\frac{10}{3}$$; б) $$-1$$.