Упр.39.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) 1/(x + 2) + 1/(x^2 — 2x) = 8/(x^3 — 4x);
б) 7/(x + 1) — (x + 4)/(2 — 2x) = (3x^2 — 38)/(x^2 — 1);
в) 2/(x^2 — 3x) — 1/(x — 3) = 5/(x^3 — 9x);
г) (2 — x)/(x^2 — 3x) + (x — 5)/(x^2 — 9) = (x + 2)/(x^2 + 3x). Решите уравнение:
а) (x^2 + 1)/(x^2 — 4x + 3) + 2/(x — 1) = 3/(x — 3);
б) (x^2 + 14)/(x^2 — x — 2) + 10/(x + 1) = 3x/(x — 2);
в) (x — 1)/(x — 2) — (3x — 1)/(2x^2 — 3x — 2) = (x — 3)/(2x + 1);
г) (x^2 — 7)/(x^2 — 7x — 8) — 6/(x + 1) = 18/(x — 8).
а)
$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x^2-2x}=\frac{8}{x^3-4x}$$
$$x^2-2x=x(x-2), \quad x^3-4x=x(x-2)(x+2)$$
$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x(x-2)}-\frac{8}{x(x-2)(x+2)}=0$$
$$\frac{x(x-2)+(x+2)-8}{x(x-2)(x+2)}=0$$
$$x^2-x-6=0, \quad x \ne 0,\; x \ne 2,\; x \ne -2$$
$$(x-3)(x+2)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=-2$$
Значение $$x=-2$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.
Ответ: $$x=3$$.
б)
$$\frac{7}{x+1}-\frac{x+4}{2-2x}=\frac{3x^2-38}{x^2-1}$$
$$2-2x=2(1-x)=-2(x-1), \quad x^2-1=(x-1)(x+1)$$
$$\frac{7}{x+1}+\frac{x+4}{2(x-1)}-\frac{3x^2-38}{(x-1)(x+1)}=0$$
$$\frac{14(x-1)+(x+4)(x+1)-2(3x^2-38)}{2(x-1)(x+1)}=0$$
$$-5x^2+19x+66=0, \quad x \ne \pm 1$$
$$5x^2-19x-66=0$$
$$D=19^2+4\cdot 5\cdot 66=1681=41^2$$
$$x_{1,2}=\frac{19\pm 41}{10}$$
$$x_1=-\frac{22}{10}=-2{,}2, \quad x_2=\frac{60}{10}=6$$
Ответ: $$x=-2{,}2,\; x=6$$.
в)
$$\frac{2}{x^2-3x}-\frac{1}{x-3}=\frac{5}{x^3-9x}$$
$$x^2-3x=x(x-3), \quad x^3-9x=x(x-3)(x+3)$$
$$\frac{2}{x(x-3)}-\frac{1}{x-3}-\frac{5}{x(x-3)(x+3)}=0$$
$$\frac{2(x+3)-x(x+3)-5}{x(x-3)(x+3)}=0$$
$$-x^2-x+1=0, \quad x \ne 0,\; x \ne 3,\; x \ne -3$$
$$x^2+x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$.
г)
$$\frac{2-x}{x^2-3x}+\frac{x-5}{x^2-9}=\frac{x+2}{x^2+3x}$$
$$x^2-3x=x(x-3), \quad x^2-9=(x-3)(x+3), \quad x^2+3x=x(x+3)$$
$$\frac{2-x}{x(x-3)}+\frac{x-5}{(x-3)(x+3)}-\frac{x+2}{x(x+3)}=0$$
$$\frac{(2-x)(x+3)+x(x-5)-(x+2)(x-3)}{x(x-3)(x+3)}=0$$
$$-x^2-5x+12=0, \quad x \ne 0,\; x \ne \pm 3$$
$$x^2+5x-12=0$$
$$D=25+48=73$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{73}}{2}$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $$x=\frac{-5\pm \sqrt{73}}{2}$$.
а)
$$\frac{x^2+1}{x^2-4x+3}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x-3}$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$
$$\frac{x^2+1}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x-3}=0$$
$$\frac{x^2+1+2(x-3)-3(x-1)}{(x-1)(x-3)}=0$$
$$x^2-x-2=0, \quad x \ne 1,\; x \ne 3$$
$$(x-2)(x+1)=0$$
$$x=-1 \text{ или } x=2$$
Ответ: $$x=-1,\; x=2$$.
б)
$$\frac{x^2+14}{x^2-x-2}+\frac{10}{x+1}=\frac{3x}{x-2}$$
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
$$\frac{x^2+14}{(x+1)(x-2)}+\frac{10}{x+1}-\frac{3x}{x-2}=0$$
$$\frac{x^2+14+10(x-2)-3x(x+1)}{(x+1)(x-2)}=0$$
$$-2x^2+7x-6=0, \quad x \ne -1,\; x \ne 2$$
$$2x^2-7x+6=0$$
$$D=49-48=1$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{4}$$
$$x_1=\frac{6}{4}=1{,}5, \quad x_2=\frac{8}{4}=2$$
Значение $$x=2$$ не подходит.
Ответ: $$x=1{,}5$$.
в)
$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3x-1}{2x^2-3x-2}=\frac{x-3}{2x+1}$$
$$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$$
$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3x-1}{(2x+1)(x-2)}-\frac{x-3}{2x+1}=0$$
$$\frac{(x-1)(2x+1)-(3x-1)-(x-3)(x-2)}{(2x+1)(x-2)}=0$$
$$x^2+x-6=0, \quad x \ne 2,\; x \ne -\frac12$$
$$(x+3)(x-2)=0$$
$$x=-3 \text{ или } x=2$$
Значение $$x=2$$ не подходит.
Ответ: $$x=-3$$.
г)
$$\frac{x^2-7}{x^2-7x-8}-\frac{6}{x+1}=\frac{18}{x-8}$$
$$x^2-7x-8=(x+1)(x-8)$$
$$\frac{x^2-7}{(x+1)(x-8)}-\frac{6}{x+1}-\frac{18}{x-8}=0$$
$$\frac{x^2-7-6(x-8)-18(x+1)}{(x+1)(x-8)}=0$$
$$x^2-24x+23=0, \quad x \ne -1,\; x \ne 8$$
$$(x-1)(x-23)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=23$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $$x=1,\; x=23$$.
