Упр.39.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) 3x/(x — 2) + 5/(x + 2) = -6/(x^2 — 4);
б) x/(x + 3) + (7x — 15)/(x^2 — 9) = 5/(x — 3);
в) 2x/(x + 4) — 31/(x^2 — 16) = 1/(x — 4);
г) x/(x — 5) + 4/(x + 5) = (22 + 10x)/(x^2 — 25). Разложите на множители:
а) x^4 — 13x^2 + 36; г) x^4 — 10x^2 + 9;
б) -x^4 + 17x^2 — 16; д) -x^4 — 20x^2 — 64;
в) 8x^6 — 7x^3 — 1; е) x^6 — 7x^3 — 8.
а)
$$\frac{3x}{x-2}+\frac{5}{x+2}=-\frac{6}{x^2-4}, \qquad x\ne \pm 2$$
$$\frac{3x}{x-2}+\frac{5}{x+2}+\frac{6}{(x-2)(x+2)}=0$$
$$\frac{3x(x+2)+5(x-2)+6}{(x-2)(x+2)}=0$$
$$3x^2+11x-4=0$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot(-4)=169$$
$$x=\frac{-11\pm 13}{6}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac13$$
б)
$$\frac{x}{x+3}+\frac{7x-15}{x^2-9}=\frac{5}{x-3}, \qquad x\ne \pm 3$$
$$\frac{x}{x+3}+\frac{7x-15}{(x-3)(x+3)}-\frac{5}{x-3}=0$$
$$\frac{x(x-3)+(7x-15)-5(x+3)}{(x-3)(x+3)}=0$$
$$x^2-x-30=0$$
$$D=1+120=121$$
$$x=\frac{1\pm 11}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=6$$
в)
$$\frac{2x}{x+4}-\frac{31}{x^2-16}=\frac{1}{x-4}, \qquad x\ne \pm 4$$
$$\frac{2x}{x+4}-\frac{31}{(x-4)(x+4)}-\frac{1}{x-4}=0$$
$$\frac{2x(x-4)-31-(x+4)}{(x-4)(x+4)}=0$$
$$2x^2-9x-35=0$$
$$D=81+280=361$$
$$x=\frac{9\pm 19}{4}$$
$$x_1=-\frac52,\quad x_2=7$$
г)
$$\frac{x}{x-5}+\frac{4}{x+5}=\frac{22+10x}{x^2-25}, \qquad x\ne \pm 5$$
$$\frac{x}{x-5}+\frac{4}{x+5}-\frac{22+10x}{(x-5)(x+5)}=0$$
$$\frac{x(x+5)+4(x-5)-(22+10x)}{(x-5)(x+5)}=0$$
$$x^2-x-42=0$$
$$D=1+168=169$$
$$x=\frac{1\pm 13}{2}$$
$$x_1=-6,\quad x_2=7$$
а)
$$x^4-13x^2+36$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-13y+36=0$$$$y^2-13y+36=(y-4)(y-9)$$
Следовательно,
$$x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$$б)
$$-x^4+17x^2-16$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$-y^2+17y-16=0$$$$y^2-17y+16=0$$
$$y^2-17y+16=(y-1)(y-16)$$
Следовательно,
$$-x^4+17x^2-16=(1-x^2)(x^2-16)=(1-x)(1+x)(x-4)(x+4)$$в)
$$8x^6-7x^3-1$$
Пусть $$x^3=y$$. Тогда
$$8y^2-7y-1=0$$$$8y^2-7y-1=(y-1)(8y+1)$$
Следовательно,
$$8x^6-7x^3-1=(x^3-1)(8x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(2x+1)(4x^2-2x+1)$$г)
$$x^4-10x^2+9$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-10y+9=0$$$$y^2-10y+9=(y-1)(y-9)$$
Следовательно,
$$x^4-10x^2+9=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$$д)
$$-x^4-20x^2-64$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$-y^2-20y-64=0$$$$y^2+20y+64=0$$
$$y^2+20y+64=(y+16)(y+4)$$
Следовательно,
$$-x^4-20x^2-64=-(x^2+16)(x^2+4)$$е)
$$x^6-7x^3-8$$
Пусть $$x^3=y$$. Тогда
$$y^2-7y-8=0$$$$y^2-7y-8=(y+1)(y-8)$$
Следовательно,
$$x^6-7x^3-8=(x^3+1)(x^3-8)=(x+1)(x^2-x+1)(x-2)(x^2+2x+4)$$
Ответ
а) $$x=-4,\ \frac13$$; б) $$x=-5,\ 6$$; в) $$x=-\frac52,\ 7$$; г) $$x=-6,\ 7$$.
Разложение на множители:
а) $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$;
б) $$\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)$$;
в) $$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)$$;
г) $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$;
д) $$-\left(x^2+16\right)\left(x^2+4\right)$$;
е) $$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$$.
