Упр.39.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$\frac{12}{x(x-12)}-\frac{1}{x-12}=1$$;
б) $$\frac{3x}{x-1}-\frac{4}{x}=\frac{3}{x^2-x}$$;
в) $$\frac{45}{x(x+15)}+\frac{3}{x+15}=1$$;
г) $$\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x^2+2x}=\frac{4}{x}$$. - Разложите на множители:
а) $$x^2-12x+35$$;
б) $$9x^2+4x-5$$;
в) $$-5x^2+11x-2$$;
г) $$x^2-7x-18$$;
д) $$7x^2-23x+16$$;
е) $$-6x^2+23x-15$$.
а)
$$\frac{12}{x(x-12)}-\frac{1}{x-12}=1$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 12.$$
$$\frac{12-x}{x(x-12)}=1$$
$$12-x=x(x-12)$$
$$12-x=x^2-12x$$
$$x^2-11x-12=0$$
$$D=121+48=169=13^2$$
$$x_{1,2}=\frac{11\pm 13}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=12$$
$$x=12$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=-1.$$
б)
$$\frac{3x}{x-1}-\frac{4}{x}=\frac{3}{x^2-x}$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 1.$$
$$\frac{3x^2-4(x-1)-3}{x(x-1)}=0$$
$$3x^2-4x+4-3=0$$
$$3x^2-4x+1=0$$
$$D=16-12=4$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{6}$$
$$x_1=\frac13,\quad x_2=1$$
$$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=\frac13.$$
в)
$$\frac{45}{x(x+15)}+\frac{3}{x+15}=1$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq -15.$$
$$\frac{45+3x-x(x+15)}{x(x+15)}=1$$
$$45+3x-x^2-15x=x(x+15)$$
$$-x^2-12x+45=0$$
$$x^2+12x-45=0$$
$$D=144+180=324=18^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-12\pm 18}{2}$$
$$x_1=-15,\quad x_2=3$$
$$x=-15$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=3.$$
г)
$$\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x^2+2x}=\frac{4}{x}$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq -2.$$
$$\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x(x+2)}-\frac{4}{x}=0$$
$$\frac{5x^2-20-4(x+2)}{x(x+2)}=0$$
$$5x^2-4x-28=0$$
$$D=16+560=576=24^2$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 24}{10}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac{14}{5}$$
$$x=-2$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=\frac{14}{5}.$$
а)
$$x-12\sqrt{x}+35=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда $$x=y^2.$$
$$y^2-12y+35=0$$
$$\left(y-5\right)\left(y-7\right)=0$$
$$y=5 \text{ или } y=7$$
Тогда $$x=25$$ или $$x=49.$$
б)
$$9x+4\sqrt{x}-5=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда $$x=y^2.$$
$$9y^2+4y-5=0$$
$$\left(9y-5\right)\left(y+1\right)=0$$
$$y=\frac59 \text{ или } y=-1$$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=\frac59.$$
Тогда $$x=\frac{25}{81}.$$
в)
$$-5x+11\sqrt{x}-2=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда $$x=y^2.$$
$$-5y^2+11y-2=0$$
$$5y^2-11y+2=0$$
$$D=121-40=81=9^2$$
$$y_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10}$$
$$y_1=\frac15,\quad y_2=2$$
Тогда $$x=\frac1{25}$$ или $$x=4.$$
г)
$$x-7\sqrt{x}-18=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда $$x=y^2.$$
$$y^2-7y-18=0$$
$$\left(y-9\right)\left(y+2\right)=0$$
$$y=9 \text{ или } y=-2$$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=9.$$
Тогда $$x=81.$$
д)
$$7x-23\sqrt{x}+16=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда $$x=y^2.$$
$$7y^2-23y+16=0$$
$$D=529-448=81=9^2$$
$$y_{1,2}=\frac{23\pm 9}{14}$$
$$y_1=1,\quad y_2=\frac{16}{7}$$
Тогда $$x=1$$ или $$x=\frac{256}{49}.$$
е)
$$-6x+23\sqrt{x}-15=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда $$x=y^2.$$
$$-6y^2+23y-15=0$$
$$6y^2-23y+15=0$$
$$D=529-360=169=13^2$$
$$y_{1,2}=\frac{23\pm 13}{12}$$
$$y_1=\frac56,\quad y_2=3$$
Тогда $$x=\frac{25}{36}$$ или $$x=9.$$
Ответ
а) $$x=-1$$; б) $$x=\frac13$$; в) $$x=3$$; г) $$x=\frac{14}{5}$$; д) $$x=25,\;49$$; е) $$x=\frac{25}{81}$$; в) $$x=\frac1{25},\;4$$; г) $$x=81$$; д) $$x=1,\;\frac{256}{49}$$; е) $$x=\frac{25}{36},\;9$$.
