Упр.39.18 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} -|x+3|+2, & \text{если } -7\le x<1,\\ (x-1)^2-2, & \text{если } 1\le x\le 5. \end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.

б) Найдите значения параметра $$p$$, при которых уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственный корень.

в) Укажите область значений функции.

г) Решите неравенство $$f(x)\le -2$$.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -|x+3|+2, & -7\le x<1,\\ (x-1)^2-2, & 1\le x\le 5. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) На промежутке $$-7\le x<1$$ имеем график функции $$y=-|x+3|+2$$ — это «галочка» с вершиной в точке $$(-3;2)$$. На концах промежутка получаем:

$$f(-7)=-|-7+3|+2=-4+2=-2,$$
$$f(1)=-|1+3|+2=-4+2=-2.$$

Значит, на этом участке график проходит через точки $$(-7;-2)$$ и $$(1;-2)$$, причём точка $$(-7;-2)$$ входит в график, а точка $$(1;-2)$$ не входит.

2) На промежутке $$1\le x\le 5$$ имеем параболу $$y=(x-1)^2-2$$ с вершиной в точке $$(1;-2)$$. На концах промежутка:

$$f(1)=(1-1)^2-2=-2,$$
$$f(5)=(5-1)^2-2=16-2=14.$$

Значит, на этом участке график идёт от точки $$(1;-2)$$ до точки $$(5;14)$$.

По графику видно, что на первом участке значения функции лежат в промежутке $$[-2;2]$$, а на втором — в промежутке $$[-2;14]$$.

б) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда прямая $$y=p$$ пересекает график функции ровно в одной точке.

На первом участке значения $$y$$ принимаются от $$-2$$ до $$2$$, причём при $$-2<p\le 2$$ горизонтальная прямая пересекает этот участок в двух точках, а при $$p=-2$$ — в двух точках $$x=-7$$ и $$x=1$$ на границах участков. Единственный корень получается только на параболе, когда $$p>2$$ и $$p\le 14$$.

Следовательно,

$$2<p\le 14.$$

в) Область значений функции — объединение значений обоих участков:

$$[-2;2]\cup[-2;14]=[-2;14].$$

г) Решим неравенство $$f(x)\le -2$$.

На первом участке:

$$-|x+3|+2\le -2$$
$$-|x+3|\le -4$$
$$|x+3|\ge 4.$$

С учётом условия $$-7\le x<1$$ получаем:

$$x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Но на данном промежутке подходит только $$x=-7$$.

На втором участке:

$$(x-1)^2-2\le -2$$
$$(x-1)^2\le 0$$
$$x=1.$$