Упр.39.18 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = {-|x + 3| + 2, если -7 ? x < 1; (x - 1)^2 - 2, если 1 ? x ? 5}. а) Постройте график функции у = f(x). б) Найдите значения параметра р, при которых уравнение f(x) = р имеет единственный корень. в) Укажите область значений функции. г) Решите неравенство f(x) ? -2.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -|x+3|+2, & -7\le x<1,\\ (x-1)^2-2, & 1\le x\le 5. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) На промежутке $$-7\le x<1$$ имеем график функции $$y=-|x+3|+2$$ — это «галочка» с вершиной в точке $$(-3;2)$$. На концах промежутка получаем:

$$ f(-7)=-|-7+3|+2=-4+2=-2, $$
$$ f(1)=-|1+3|+2=-4+2=-2. $$

Значит, на этом участке график проходит через точки $$(-7;-2)$$ и $$ (1;-2)$$, причём точка $$(-7;-2)$$ входит в график, а точка $$ (1;-2)$$ не входит.

2) На промежутке $$1\le x\le 5$$ имеем параболу $$y=(x-1)^2-2$$ с вершиной в точке $$ (1;-2)$$. На концах промежутка:

$$ f(1)=(1-1)^2-2=-2, $$
$$ f(5)=(5-1)^2-2=16-2=14. $$

Значит, на этом участке график идёт от точки $$ (1;-2)$$ до точки $$ (5;14)$$.

По графику видно, что на первом участке значения функции лежат в промежутке $$[-2;2]$$, а на втором — в промежутке $$[-2;14]$$.

б) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда прямая $$y=p$$ пересекает график функции ровно в одной точке.

На первом участке значения $$y$$ принимаются от $$-2$$ до $$2$$, причём при $$-2<p\le 2$$ горизонтальная прямая пересекает этот участок в двух точках, а при $$p=-2$$ — в двух точках $$x=-7$$ и $$x=1$$ на границах участков. Единственный корень получается только на параболе, когда $$p>2$$ и $$p\le 14$$.

Следовательно,

$$ 2<p\le 14. $$

в) Область значений функции — объединение значений обоих участков:

$$ [-2;2]\cup[-2;14]=[-2;14]. $$

г) Решим неравенство $$f(x)\le -2$$.

На первом участке:

$$ -|x+3|+2\le -2 $$
$$ -|x+3|\le -4 $$
$$ |x+3|\ge 4. $$

С учётом условия $$-7\le x<1$$ получаем:

$$ x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge 1. $$

Но на данном промежутке подходит только $$x=-7$$.

На втором участке:

$$ (x-1)^2-2\le -2 $$
$$ (x-1)^2\le 0 $$
$$ x=1. $$