Упр.39.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, то дробь увеличится на 1/2. Найдите эту дробь.

Подробный ответ

а) Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+5$$.
После изменения дробь станет равна $$\frac{x-2}{x+21}$$, а по условию она уменьшится на $$\frac{1}{3}$$:
$$\frac{x}{x+5}-\frac{x-2}{x+21}=\frac{1}{3}$$
Приведём к общему знаменателю и упростим:
$$3x(x+21)-3(x-2)(x+5)-(x+5)(x+21)=0$$
$$3x^2+63x-3(x^2+3x-10)-\left(x^2+26x+105\right)=0$$
$$3x^2+63x-3x^2-9x+30-x^2-26x-105=0$$
$$-x^2+28x-75=0$$
$$x^2-28x+75=0$$
$$D=28^2-4\cdot 75=784-300=484=22^2$$
$$x_1=\frac{28-22}{2}=3,\qquad x_2=\frac{28+22}{2}=25$$
Проверим:
если $$x=3$$, то дробь равна $$\frac{3}{8}$$ — несократимая;
если $$x=25$$, то дробь равна $$\frac{25}{30}$$ — сокращается, значит не подходит.
Следовательно, искомая дробь: $$\frac{3}{8}$$.
б) Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+3$$.
После изменения дробь станет равна $$\frac{x+7}{x+8}$$, а по условию она увеличится на $$\frac{1}{2}$$:
$$\frac{x+7}{x+8}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}$$
Приведём к общему знаменателю и упростим:
$$2(x+7)(x+3)-2x(x+8)-(x+8)(x+3)=0$$
$$2(x^2+10x+21)-2x^2-16x-(x^2+11x+24)=0$$
$$2x^2+20x+42-2x^2-16x-x^2-11x-24=0$$
$$-x^2-7x+18=0$$
$$x^2+7x-18=0$$
$$D=7^2+4\cdot 18=49+72=121=11^2$$
$$x_1=\frac{-7-11}{2}=-9,\qquad x_2=\frac{-7+11}{2}=2$$
Отрицательное значение не подходит, значит $$x=2$$.
Тогда дробь равна $$\frac{2}{5}$$.