Упр.39.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) x(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 15;
б) x^2 + 1/x^2 + x + 1/x = 4;
в) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3;
г) 2 · (x^2 + 1/x^2) — 7 · (x + 1/x) + 9 = 0.
а) $$x(x-1)(x-2)(x-3)=15$$
Сгруппируем множители:
$$x(x-3)(x-1)(x-2)=15$$
$$\bigl(x^2-3x\bigr)\bigl(x^2-3x+2\bigr)=15$$
Пусть $$x^2-3x=y$$, тогда $$x^2-3x+2=y+2$$. Получаем:
$$y(y+2)=15$$
$$y^2+2y-15=0$$
$$D=4+60=64$$
$$y_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-2+8}{2}=3$$
1) $$x^2-3x=-5$$
$$x^2-3x+5=0$$
$$D=9-20<0$$, корней нет.
2) $$x^2-3x=3$$
$$x^2-3x-3=0$$
$$D=9+12=21$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$$
б) $$x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=4$$, $$x\ne 0$$
Пусть $$x+\frac{1}{x}=y$$. Тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$$
Подставим:
$$y^2-2+y=4$$
$$y^2+y-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-1+5}{2}=2$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-3$$
$$x^2+3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$$
2) $$x+\frac{1}{x}=2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
в) $$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=3$$
Сгруппируем множители:
$$\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=3$$
Пусть $$x^2+5x+4=y$$, тогда $$x^2+5x+6=y+2$$. Получаем:
$$y(y+2)=3$$
$$y^2+2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
1) $$x^2+5x+4=-3$$
$$x^2+5x+7=0$$
$$D=25-28<0$$, корней нет.
2) $$x^2+5x+4=1$$
$$x^2+5x+3=0$$
$$D=25-12=13$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$$
г) $$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0$$, $$x\ne 0$$
Пусть $$x+\frac{1}{x}=y$$. Тогда $$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$$.
Подставим:
$$2(y^2-2)-7y+9=0$$
$$2y^2-7y+5=0$$
$$D=49-40=9$$
$$y_1=\frac{7-3}{4}=1,\qquad y_2=\frac{7+3}{4}=\frac{5}{2}$$
1) $$x+\frac{1}{x}=1$$
$$x^2-x+1=0$$
$$D=1-4<0$$, корней нет.
2) $$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$$
$$2x^2+2=5x$$
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$
Ответ
а) $$x=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$$;
б) $$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2},\ 1$$;
в) $$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$$;
г) $$x=\frac{1}{2},\ 2$$.
