Упр.39.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (x + 1)^2 (x^2 + 2x) — 12 = 0;
б) (x^2 — x)/(x^2 — x + 1) — (x^2 -x + 2)/(x^2 — x — 2) = 1;
в) (x — 2)^2 (x^2 — 4x) + 3 = 0;
г) 1/(x^2 — 3x + 3) + 2/(x^2 — 3x + 4) = 6/(x^2 — 3x + 5).

Подробный ответ

а) Пусть $$x^2+2x=y$$. Тогда $$x^2+2x+1=y+1$$, и уравнение принимает вид
$$ (y+1)y-12=0 $$
$$ y^2+y-12=0 $$
$$ (y+4)(y-3)=0 $$
Отсюда $$y=-4$$ или $$y=3$$.
1) $$x^2+2x=-4$$, то есть $$x^2+2x+4=0$$. Дискриминант:
$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12<0 $$
Корней нет.
2) $$x^2+2x=3$$, то есть $$x^2+2x-3=0$$.
$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16 $$
$$ x=\frac{-2\pm 4}{2} $$
$$ x_1=-3,\quad x_2=1 $$
б) Пусть $$x^2-x=y$$. Тогда
$$ \frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}=1 $$
ОДЗ: $$y\neq -1$$, $$y\neq 2$$.
Перенесём 1 в левую часть:
$$ \frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}-1=0 $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{y(y-2)-(y+2)(y+1)-(y+1)(y-2)}{(y+1)(y-2)}=0 $$
$$ -y^2-4y=0 $$
$$ -y(y+4)=0 $$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=-4$$.
1) $$x^2-x=0$$, значит
$$ x(x-1)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=1 $$
2) $$x^2-x=-4$$, то есть $$x^2-x+4=0$$.
$$ D=1-16=-15<0 $$
Корней нет.
в) Пусть $$x^2-4x=y$$. Тогда $$x^2-4x+4=y+4$$, и получаем
$$ (y+4)y+3=0 $$
$$ y^2+4y+3=0 $$
$$ (y+1)(y+3)=0 $$
Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-3$$.
1) $$x^2-4x=-1$$, то есть $$x^2-4x+1=0$$.
$$ D=16-4=12 $$
$$ x=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3} $$
2) $$x^2-4x=-3$$, то есть $$x^2-4x+3=0$$.
$$ (x-1)(x-3)=0 $$
$$ x=1 \text{ или } x=3 $$
г) Пусть $$x^2-3x+3=y$$. Тогда
$$ \frac{1}{y}+\frac{2}{y+1}=\frac{6}{y+2} $$
ОДЗ: $$y\neq 0$$, $$y\neq -1$$, $$y\neq -2$$.
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(y+1)(y+2)+2y(y+2)-6y(y+1)}{y(y+1)(y+2)}=0 $$
$$ -3y^2+y+2=0 $$
$$ 3y^2-y-2=0 $$
$$ D=1+24=25 $$
$$ y=\frac{1\pm 5}{6} $$
$$ y_1=1,\quad y_2=-\frac{2}{3} $$
1) $$x^2-3x+3=1$$, тогда
$$ x^2-3x+2=0 $$
$$ (x-1)(x-2)=0 $$
$$ x=1 \text{ или } x=2 $$
2) $$x^2-3x+3=-\frac{2}{3}$$, то есть
$$ 3x^2-9x+11=0 $$
$$ D=81-132=-51<0 $$
Корней нет.