Упр.39.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
а) $$(x+1)^2(x^2+2x)-12=0$$;
б) $$\frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1$$;
в) $$(x-2)^2(x^2-4x)+3=0$$;
г) $$\frac{1}{x^2-3x+3}+\frac{2}{x^2-3x+4}=\frac{6}{x^2-3x+5}$$.
а) Пусть $$x^2+2x=y$$. Тогда $$x^2+2x+1=y+1$$, и уравнение принимает вид
$$(y+1)y-12=0$$
$$y^2+y-12=0$$
$$(y+4)(y-3)=0$$
Отсюда $$y=-4$$ или $$y=3$$.
1) $$x^2+2x=-4$$, то есть $$x^2+2x+4=0$$. Дискриминант:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12<0$$
Корней нет.
2) $$x^2+2x=3$$, то есть $$x^2+2x-3=0$$.
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$
$$x=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$
б) Пусть $$x^2-x=y$$. Тогда
$$\frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}=1$$
ОДЗ: $$y\neq -1$$, $$y\neq 2$$.
Перенесём 1 в левую часть:
$$\frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}-1=0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{y(y-2)-(y+2)(y+1)-(y+1)(y-2)}{(y+1)(y-2)}=0$$
$$-y^2-4y=0$$
$$-y(y+4)=0$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=-4$$.
1) $$x^2-x=0$$, значит
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
2) $$x^2-x=-4$$, то есть $$x^2-x+4=0$$.
$$D=1-16=-15<0$$
Корней нет.
в) Пусть $$x^2-4x=y$$. Тогда $$x^2-4x+4=y+4$$, и получаем
$$(y+4)y+3=0$$
$$y^2+4y+3=0$$
$$(y+1)(y+3)=0$$
Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-3$$.
1) $$x^2-4x=-1$$, то есть $$x^2-4x+1=0$$.
$$D=16-4=12$$
$$x=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$
2) $$x^2-4x=-3$$, то есть $$x^2-4x+3=0$$.
$$(x-1)(x-3)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=3$$
г) Пусть $$x^2-3x+3=y$$. Тогда
$$\frac{1}{y}+\frac{2}{y+1}=\frac{6}{y+2}$$
ОДЗ: $$y\neq 0$$, $$y\neq -1$$, $$y\neq -2$$.
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(y+1)(y+2)+2y(y+2)-6y(y+1)}{y(y+1)(y+2)}=0$$
$$-3y^2+y+2=0$$
$$3y^2-y-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y=\frac{1\pm 5}{6}$$
$$y_1=1,\quad y_2=-\frac{2}{3}$$
1) $$x^2-3x+3=1$$, тогда
$$x^2-3x+2=0$$
$$(x-1)(x-2)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=2$$
2) $$x^2-3x+3=-\frac{2}{3}$$, то есть
$$3x^2-9x+11=0$$
$$D=81-132=-51<0$$
Корней нет.
Ответ
а) $$x=-3,\ 1$$; б) $$x=0,\ 1$$; в) $$x=2-\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3},\ 1,\ 3$$; г) $$x=1,\ 2$$.
