Упр.39.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (x^2 — 4x)^2 — 8(x^2 — 4x) — 48 = 0;
б) (x^2 + 3)^2 — 16(x^2 + 3) + 48 = 0;
в) (x^2 + 2x)^2 — 7(x^2 + 2x) — 8 = 0;
г) (x^2 + 2)^2 — 9(x^2 + 2) + 18 = 0. Докажите тождество:
а) (a — b)/(avb — bva) — vb/b = va/a;
б) vx/x — (y — x)/(yvx + xvy) = vy/y.

1. а) Пусть $$x^2-4x=y$$. Тогда получаем:

   $$y^2-8y-48=0$$

   $$D=64+192=256=16^2$$

   $$y_1=\frac{8-16}{2}=-4,\quad y_2=\frac{8+16}{2}=12$$

   1) $$x^2-4x=-4$$

   $$x^2-4x+4=0$$

   $$\left(x-2\right)^2=0$$

   $$x=2$$

   2) $$x^2-4x=12$$

   $$x^2-4x-12=0$$

   $$D=16+48=64=8^2$$

   $$x_1=\frac{4-8}{2}=-2,\quad x_2=\frac{4+8}{2}=6$$

   Ответ: $$x=-2,\;2,\;6$$.

2. б) Пусть $$x^2+3=y$$. Тогда:

   $$y^2-16y+48=0$$

   $$D=256-192=64=8^2$$

   $$y_1=\frac{16-8}{2}=4,\quad y_2=\frac{16+8}{2}=12$$

   1) $$x^2+3=4$$

   $$x^2=1$$

   $$x=\pm 1$$

   2) $$x^2+3=12$$

   $$x^2=9$$

   $$x=\pm 3$$

   Ответ: $$x=\pm 1,\;\pm 3$$.

3. в) Пусть $$x^2+2x=y$$. Тогда:

   $$y^2-7y-8=0$$

   $$D=49+32=81=9^2$$

   $$y_1=\frac{7-9}{2}=-1,\quad y_2=\frac{7+9}{2}=8$$

   1) $$x^2+2x=-1$$

   $$x^2+2x+1=0$$

   $$\left(x+1\right)^2=0$$

   $$x=-1$$

   2) $$x^2+2x=8$$

   $$x^2+2x-8=0$$

   $$D=4+32=36=6^2$$

   $$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\quad x_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

   Ответ: $$x=-4,\;-1,\;2$$.

4. г) Пусть $$x^2+2=y$$. Тогда:

   $$y^2-9y+18=0$$

   $$D=81-72=9=3^2$$

   $$y_1=\frac{9-3}{2}=3,\quad y_2=\frac{9+3}{2}=6$$

   1) $$x^2+2=3$$

   $$x^2=1$$

   $$x=\pm 1$$

   2) $$x^2+2=6$$

   $$x^2=4$$

   $$x=\pm 2$$

   Ответ: $$x=\pm 1,\;\pm 2$$.

5. а) Докажем тождество:

   $$\frac{a-b}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{b}}{b}=\frac{\sqrt{a}}{a}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{a-b}{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{b}}{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a}\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{1}{\sqrt{b}} $$

   $$ = \frac{a-b-\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} $$

   $$ = \frac{a-b-a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} = \frac{\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} $$

   $$ = \frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} = \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} $$

   Что и требовалось доказать.

6. б) Докажем тождество:

   $$\frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{y-x}{y\sqrt{x}+x\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{y}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{y-x}{y\sqrt{x}+x\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{y-x}{\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)} $$

   $$ = \frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)-(y-x)}{\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)} $$

   $$ = \frac{y+\sqrt{xy}-y+x}{\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)} = \frac{\sqrt{xy}+x}{\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)} $$

   $$ = \frac{\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{x}\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)} = \frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)} = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{y} $$

   Что и требовалось доказать.