Упр.38.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Найдите все значения параметра p, при каждом из которых среднее арифметическое корней уравнения x^2 — (3p + 2)x + 5p + 5 = 0 равно 4. Найдите корни квадратного уравнения, не используя формулу корней:
а) x^2 — 88x + 780 = 0; г) x^2 — 26x + 105 = 0;
б) x^2 — 26x + 120 = 0; д) x^2 + 32x — 144 = 0;
в) x^2 + 91x — 810 = 0; е) x^2 + 71x — 810 = 0.

Подробный ответ

а) Для уравнения $$x^2-(p-1)x+7p=0$$ сумма корней равна $$x_1+x_2=p-1.$$
По условию среднее арифметическое корней равно $$4$$, значит
$$\frac{x_1+x_2}{2}=4 \Rightarrow \frac{p-1}{2}=4 \Rightarrow p-1=8 \Rightarrow p=9.$$
Проверим, существуют ли корни при $$p=9$$:
$$D=(p-1)^2-28p=8^2-28\cdot 9=64-252=-188<0.$$
Действительных корней нет, значит такое значение параметра не подходит.
б) Для уравнения $$x^2-(3p+2)x+5p+5=0$$ сумма корней равна $$x_1+x_2=3p+2.$$
По условию
$$\frac{x_1+x_2}{2}=4 \Rightarrow \frac{3p+2}{2}=4 \Rightarrow 3p+2=8 \Rightarrow p=2.$$
Проверим дискриминант при $$p=2$$:
$$D=(3p+2)^2-4(5p+5)=8^2-4\cdot 15=64-60=4>0.$$
Корни существуют, значит $$p=2$$ подходит.
а) $$x^2-88x+780=0$$
Подберём числа с произведением $$780$$ и суммой $$88$$: это $$10$$ и $$78$$.
$$x^2-88x+780=(x-10)(x-78)=0.$$
Следовательно, $$x=10$$ или $$x=78$$.
б) $$x^2-26x+120=0$$
Подбираем числа с произведением $$120$$ и суммой $$26$$: это $$6$$ и $$20$$.
$$x^2-26x+120=(x-6)(x-20)=0.$$
Следовательно, $$x=6$$ или $$x=20$$.
в) $$x^2+91x-810=0$$
Нужны числа с произведением $$-810$$ и суммой $$91$$: это $$81$$ и $$-10$$.
$$x^2+91x-810=(x+81)(x-10)=0.$$
Следовательно, $$x=-81$$ или $$x=10$$.
г) $$x^2-26x+105=0$$
Подбираем числа с произведением $$105$$ и суммой $$26$$: это $$5$$ и $$21$$.
$$x^2-26x+105=(x-5)(x-21)=0.$$
Следовательно, $$x=5$$ или $$x=21$$.
д) $$x^2+32x-144=0$$
Нужны числа с произведением $$-144$$ и суммой $$32$$: это $$36$$ и $$-4$$.
$$x^2+32x-144=(x+36)(x-4)=0.$$
Следовательно, $$x=-36$$ или $$x=4$$.
е) $$x^2+71x-810=0$$
Подбираем числа с произведением $$-810$$ и суммой $$71$$: это $$81$$ и $$-10$$.
$$x^2+71x-810=(x+81)(x-10)=0.$$
Следовательно, $$x=-81$$ или $$x=10$$.