Упр.38.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) При каких значениях параметра р уравнения х^2 — х — 2 = 0 и рх^2 + 5х — 4 = 0 имеют общий корень? Найдите корни квадратного уравнения, не используя формулу корней:
а) x^2 — 10x — 11 = 0; г) x^2 + 8x — 9 = 0;
б) x^2 + x — 30 = 0; д) x^2 — x — 20 = 0;
в) x^2 — 13x + 22 = 0; е) x^2 — 10x + 24 = 0.

Подробный ответ

а) Найдём корни уравнения $$x^2+2x-3=0$$:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$
Отсюда $$x_1=-3,\quad x_2=1.$$
Подставим эти значения во второе уравнение $$px^2+(4p-1)x-4=0.$$
Если $$x=-3,$$ то
$$p\cdot(-3)^2+(4p-1)\cdot(-3)-4=0,$$
$$9p-12p+3-4=0,$$
$$-3p-1=0,$$
$$p=-\frac13.$$
Если $$x=1,$$ то
$$p\cdot 1^2+(4p-1)\cdot 1-4=0,$$
$$p+4p-1-4=0,$$
$$5p-5=0,$$
$$p=1.$$
Значит, уравнения имеют общий корень при $$p=-\frac13$$ и $$p=1.$$
б) Найдём корни уравнения $$x^2-x-2=0$$:
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
Отсюда $$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
Подставим эти значения во второе уравнение $$px^2+5x-4=0.$$
Если $$x=-1,$$ то
$$p\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)-4=0,$$
$$p-5-4=0,$$
$$p=9.$$
Если $$x=2,$$ то
$$p\cdot 2^2+5\cdot 2-4=0,$$
$$4p+10-4=0,$$
$$4p+6=0,$$
$$p=-\frac{6}{4}=-\frac32.$$
Значит, уравнения имеют общий корень при $$p=9$$ и $$p=-\frac32.$$
а) $$x^2-10x-11=0$$
Подберём числа с произведением $$-11$$ и суммой $$-10$$: это $$-11$$ и $$1$$.
$$x^2-10x-11=(x-11)(x+1)=0,$$
$$x=11 \text{ или } x=-1.$$
б) $$x^2+x-30=0$$
Подберём числа с произведением $$-30$$ и суммой $$1$$: это $$6$$ и $$-5$$.
$$x^2+x-30=(x+6)(x-5)=0,$$
$$x=-6 \text{ или } x=5.$$
в) $$x^2-13x+22=0$$
Подберём числа с произведением $$22$$ и суммой $$13$$: это $$11$$ и $$2$$.
$$x^2-13x+22=(x-11)(x-2)=0,$$
$$x=11 \text{ или } x=2.$$
г) $$x^2+8x-9=0$$
Подберём числа с произведением $$-9$$ и суммой $$8$$: это $$9$$ и $$-1$$.
$$x^2+8x-9=(x+9)(x-1)=0,$$
$$x=-9 \text{ или } x=1.$$
д) $$x^2-x-20=0$$
Подберём числа с произведением $$-20$$ и суммой $$-1$$: это $$-5$$ и $$4$$.
$$x^2-x-20=(x-5)(x+4)=0,$$
$$x=5 \text{ или } x=-4.$$
е) $$x^2-10x+24=0$$
Подберём числа с произведением $$24$$ и суммой $$10$$: это $$6$$ и $$4$$.
$$x^2-10x+24=(x-6)(x-4)=0,$$
$$x=6 \text{ или } x=4.$$